作业帮证明：当n趋于无穷大时,lim（1／n＋1／（n＋1）＋1／（n＋2）＋．．．＋1／3n）存在,并求出极限值．
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 14:01:31
证明：当n趋于无穷大时,lim（1／n＋1／（n＋1）＋1／（n＋2）＋．．．＋1／3n）存在,并求出极限值．
证明：当n趋于无穷大时,lim（1／n＋1／（n＋1）＋1／（n＋2）＋．．．＋1／3n）存在,并求出极限值．
证明：当n趋于无穷大时,lim（1／n＋1／（n＋1）＋1／（n＋2）＋．．．＋1／3n）存在,并求出极限值．
函数f(x)=1/(1+x).
用分点将区间[0,1]平均分成n份,分点是
x[k]=k/n,k=1,2,...,n.
利用定积分的定义,和式
∑{f(x[k])*(1/n),k=1...n}
当n->∞时的极限等于定积分
∫{f(x)dx,[0,1]}
而f(x[k])*(1/n)＝1/(n+k),通项相等,也就是说你的式子等于上面的和式.
于是
lim[1/(n+1) +1/(n+2)+1/(n+3)+……1/(n+n),n->∞]
=∫{f(x)dx,[0,1]}
=∫{1/(1+x)dx,[0,1]}
=ln(1+x)|[0,1]
=ln(1+1)-ln(1+0)
=ln2
利用1+1/2+..+1/n-log(n)=c+o(1)
原式为lim（log(3n)-log(n-1)+o(1)）=log(3)看不懂，能否写详细些？嗯，你知道这个结论吗： lim(n→∞)[1+1/2+..+1/n-log(n)]=γ (称为欧拉常数=0.577...还不知是否是无理数)这个结论其实很容易证明。 一般这样关于调和级数截取一段加和的极限都可以通过这个结论解决。 由结...
全部展开
利用1+1/2+..+1/n-log(n)=c+o(1)
原式为lim（log(3n)-log(n-1)+o(1)）=log(3)
收起
设A=1／n＋1／（n＋1）＋1／（n＋2）＋．．．＋1／3n，则有A《（2n+1)/n《3,，又由于A单调递增，故由单调有界定理得A必收敛，故得其极限存在， 至于求积分值就用楼下给的算法不过要变一下： 设B=lim（1／n＋1／（n＋1）＋1／（n＋2）＋．．．＋1／3n）， 由定积分定义得; 变换B=lim[1／n＋{1／（n＋1）＋1／（n＋2）＋．．．＋1／3n）} ]又B1=1／（n＋1）＋1／（n＋2）＋．．．＋1／2n）=ln(1+x)在【0，1】上的值即为ln2， 又有B2=1／（2n＋1）＋1／（2n＋2）＋．．．＋1／3n）=ln（2+x）在【0，1】的值即为ln3-ln2， 所以B=lim 1/n+B1+B2=0+ln2+ln3-ln2=ln3.# 不知道对不对错了还望改正