作业帮各位数学爱好者帮忙证一下这个题一个数列的前N项和的表达式是 Sn=0.5n(A1+An) 求证这个数列是等差数列.（Sn是前N项和, A1是首项,An是末项,）我开学高2, 所以证的时候尽量用我能懂的语言吧分
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 00:18:54
各位数学爱好者帮忙证一下这个题一个数列的前N项和的表达式是 Sn=0.5n(A1+An) 求证这个数列是等差数列.（Sn是前N项和, A1是首项,An是末项,）我开学高2, 所以证的时候尽量用我能懂的语言吧分
各位数学爱好者帮忙证一下这个题
一个数列的前N项和的表达式是 Sn=0.5n(A1+An)
求证这个数列是等差数列.
（Sn是前N项和, A1是首项,An是末项,）
我开学高2, 所以证的时候尽量用我能懂的语言吧
分不是很多 大家帮忙了
各位数学爱好者帮忙证一下这个题一个数列的前N项和的表达式是 Sn=0.5n(A1+An) 求证这个数列是等差数列.（Sn是前N项和, A1是首项,An是末项,）我开学高2, 所以证的时候尽量用我能懂的语言吧分
A(n+1)=S(n+1)-Sn=0.5*[(n+1)*A(n+1)-n*An+A1]
故A(n+1)-A1=n*(A(n+1)-An)
A(n+2)-A1=(n+1)*(A(n+1)-An)
所以 A(n+2)-A(n+1)=A(n+1)-An
再讨论一下前几项便得了
Sn=0.5(A1+An)/2
因为是对于任一n均成立,那么Sn-S(n-1)=[n(A1+An)-(n-1)(A1+A(n-1))]/2=[A1+n*An-(n-1)*A(n-1)]/2=An
化简得(n-2)An-(n-1)A(n-1)=A1,这对于任一n均成立
当n取n-1时式子变为,(n-3)A(n-1)-(n-2)A(n-2)=A1=(n-2)An-(n-1)...
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Sn=0.5(A1+An)/2
因为是对于任一n均成立,那么Sn-S(n-1)=[n(A1+An)-(n-1)(A1+A(n-1))]/2=[A1+n*An-(n-1)*A(n-1)]/2=An
化简得(n-2)An-(n-1)A(n-1)=A1,这对于任一n均成立
当n取n-1时式子变为,(n-3)A(n-1)-(n-2)A(n-2)=A1=(n-2)An-(n-1)A(n-1)
得
2(n-2)A(n-1)=(n-2)*(An+A(n-2))
当n大于2时得2A(n-1)=An+A(n-2)显然证得！！！
完全正确 要加分哦，祝你学业有成，暑假愉快
收起
因为Sn=0.5n(A1+An)，
所以S(n-1)=0.5(n-1)[A1+A(n-1)],
两式相减，得2An=nAn-(n-1)A(n-1)+A1，
所以(n-2)An-(n-1)A(n-1)=-A1,
两边除以(n-1)(n-2)，
得An/(n-1)-A(n-1)/(n-2)=-A1/[(n-1)(n-2)]=
-A1[1/(n-2)-1/...
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因为Sn=0.5n(A1+An)，
所以S(n-1)=0.5(n-1)[A1+A(n-1)],
两式相减，得2An=nAn-(n-1)A(n-1)+A1，
所以(n-2)An-(n-1)A(n-1)=-A1,
两边除以(n-1)(n-2)，
得An/(n-1)-A(n-1)/(n-2)=-A1/[(n-1)(n-2)]=
-A1[1/(n-2)-1/(n-1)] （n>=3)
所以An/(n-1)=A2-A1+A1/(n-1),
所以An=A1+(A2-A1)(n-1),
所以这个数列是等差数列.
收起
Sn=0.5n(A1+An)
2Sn=n(A1+An)
2Sn-1=(n-1)(A1+An-1)
2Sn-2Sn-1=n(A1+An)-(n-1)(A1+An-1)
2An=A1+nAn-nAn-1+An-1=nAn-nAn-1+An
An=n/(n-1)An-1=n/(n-1)*(n-1)/(n-2)An-2
=n/(n-1)*(n-1)/(n-2).......2/1*A1=nA1
即An=nA1
所以是公差为A1的等差数列