作业帮用数学归纳法证明1^2-2^2+3^2-4^2+...+(-1)^n+1×n^2=(-1)^n+1×n(n+1)/2
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 07:36:18
用数学归纳法证明1^2-2^2+3^2-4^2+...+(-1)^n+1×n^2=(-1)^n+1×n(n+1)/2
用数学归纳法证明1^2-2^2+3^2-4^2+...+(-1)^n+1×n^2=(-1)^n+1×n(n+1)/2
用数学归纳法证明1^2-2^2+3^2-4^2+...+(-1)^n+1×n^2=(-1)^n+1×n(n+1)/2
呃……我已离开数学界好多年了.
这个不难，思路： （1）证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况； （2）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。 对于这一题： （1）证明当n取第一个值n0时命题成立。n0=1，算式=1，数列之和也=1，成立 （2）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，则有 (-1)^k+1×k(k+1)/2 + （-1)^（K+1+1）×（K+1）^2 =(-1)^k+1+1×（k+1）(K+1+1)/2 这个式子经过移向运算后是一个等式 k/2=k/2 此时命题也成立。 由此可以得证。 还要多具体啊……好吧 第5步笔误，应该是 k/2=k+1-(k+2)/2 
取n=1时，总和Sn=1，[(-1)^(n+1)]×n(n+1)/2=1
取n=2时，总和Sn=-3，[(-1)^(n+1)]×n(n+1)/2=-3
取n=3时，总和Sn=6，[(-1)^(n+1)]×n(n+1)/2=6
于是假设，n=k时(k为自然数)，
Sn=1^2-2^2+3^2-4^2+...+[(-1)^(k+1)]×k^2=[(-1)^(k+1)]×...
全部展开
取n=1时，总和Sn=1，[(-1)^(n+1)]×n(n+1)/2=1
取n=2时，总和Sn=-3，[(-1)^(n+1)]×n(n+1)/2=-3
取n=3时，总和Sn=6，[(-1)^(n+1)]×n(n+1)/2=6
于是假设，n=k时(k为自然数)，
Sn=1^2-2^2+3^2-4^2+...+[(-1)^(k+1)]×k^2=[(-1)^(k+1)]×k(k+1)/2，
那么n=k+1时，
S(k+1)=1^2-2^2+3^2-4^2+...+[(-1)^(k+1)]×k^2 + [(-1)^(k+2)]×(k+1)^2
=[(-1)^(k+1)]×k(k+1)/2 + [(-1)^(k+2)]×(k+1)^2
=[(-1)^(k+1)]×[k(k+1)/2-(k+1)^2] //这一步是把后面一项的-1抽一个出来，然后合并同类项
=[(-1)^(k+1)]×[(k+1)×(k/2-(k+1))]
=[(-1)^(k+1)]×[(k+1)×(-k-2)/2)]
=[(-1)^(k+1+1)]×[(k+1)×(k+1+1)/2)] //至此，已证明出结果
所以，n=k+1时也有S(k+1)=[(-1)^(k+1+1)]×[(k+1)×(k+1+1)/2)]
由此可得，对一切自然数n，Sn=1^2-2^2+3^2-4^2+...+[(-1)^(n+1)]×n^2=(-1)^n+1×n(n+1)/2.
打完后发现跟楼上撞车了o(╯□╰)o
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