作业帮1/lnx 与sin(1/x)的原函数分别是什么,怎样求?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/27 21:30:43
1/lnx 与sin(1/x)的原函数分别是什么,怎样求?
1/lnx 与sin(1/x)的原函数分别是什么,怎样求?
1/lnx 与sin(1/x)的原函数分别是什么,怎样求?
因为1/lnx 的原函数不是初等函数,所以不能用常规的有限解析式来求它的原函数……
首先换元.令x=e^t 所以 1/lnx = 1/t
所以∫1/lnx dx =∫1/t * e^t dt
到这后,我们知道如果用泰勒展开式的话,e^t=∑[0,正无穷]t^n / n!
将这个展开式带到上面∫1/lnx dx =∫1/t * e^t dt 里面 ,相信剩下的无限性基本积分我就不用详细赘述了啊.
最后的结果是：ln | lnx | + ∑[0,正无穷] (lnx)^n / n*(n!) +C C为任意常数,且x>0 ,x≠1
第二个也是同样如此,令1/x = t 则x=1/t
∫sin(1/x) dx = ∫-sint *(1/t^2) dt
把sint按级数展开：sint=∑（-1）^n *[ t^(2n+1) / (2n+1)!] n从0到正无穷,然后t∈R
这样把sint 的展开式带入积分式子.
结构是：ln | t | + ∑ (-1)^n * [ x^(2n) / (2n *(2n+1)!) +C C为任意常数,X∈R
额 ,大概就是这样了~
这两个函数属于非初等可积函数，即其原函数不能用初等函数表示，这样的函数还有很多，例如y=e^(±x^2),y=sin(x^2),y=cos(x^2),y=(e^x)/x,y=(sinx)/x等等，下次碰到它们不要尝试去求它们的原函数（不定积分），求不出来的。
估计你是想利用它们的原函数（不定积分）来判断广义积分（反常积分）敛散性。这可以用广义积分的审敛法，
对无穷广义积分，∫(a~...
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这两个函数属于非初等可积函数，即其原函数不能用初等函数表示，这样的函数还有很多，例如y=e^(±x^2),y=sin(x^2),y=cos(x^2),y=(e^x)/x,y=(sinx)/x等等，下次碰到它们不要尝试去求它们的原函数（不定积分），求不出来的。
估计你是想利用它们的原函数（不定积分）来判断广义积分（反常积分）敛散性。这可以用广义积分的审敛法，
对无穷广义积分，∫(a~+∞)f(x)dx,则作出x^p(p>1),求lim(x→∞)(x^p)f(x),若极限存在则收敛；
对无界函数广义积分,∫(a~b)f(x)dx(x=a为奇点，也称为瑕点),则作出(x-a)^p(0
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