作业帮高中数学（有一步看不懂,设双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1（a＞0,b＞0）的左右焦点为F1,F2,P是双曲线右支上的一点,△PF1F2的内切圆与x轴切于点Q（1,0）,且|F1Q|=4,求双曲线的方程.设内切圆与PF1切于A,与PF2
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 08:21:31
高中数学（有一步看不懂,设双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1（a＞0,b＞0）的左右焦点为F1,F2,P是双曲线右支上的一点,△PF1F2的内切圆与x轴切于点Q（1,0）,且|F1Q|=4,求双曲线的方程.设内切圆与PF1切于A,与PF2
高中数学（有一步看不懂,
设双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1（a＞0,b＞0）的左右焦点为F1,F2,P是双曲线右支上的一点,△PF1F2的内切圆与x轴切于点Q（1,0）,且|F1Q|=4,求双曲线的方程.
设内切圆与PF1切于A,与PF2切于B,则|PA|=|PB|,|F1A|=|F1Q|,|F2B|=|F2Q|
因为|F1Q|=|F1O|+|OQ|,所以|F1O|=|F1Q|-|OQ|=4-1=3,即c=3,从而|F2Q|=2
又|PF1|-|PF2|=2a
即(|PA|+|F1A|)-(|PB|+|F2B|)=2a
|F1Q|-|F2Q|=2a
4-2=2a,a=1
所以 b²=c²-a²=8
双曲线的方程为x² -y²/8=1
即(|PA|+|F1A|)-(|PB|+|F2B|)=2a
|F1Q|-|F2Q|=2a
有什么关系?
高中数学（有一步看不懂,设双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1（a＞0,b＞0）的左右焦点为F1,F2,P是双曲线右支上的一点,△PF1F2的内切圆与x轴切于点Q（1,0）,且|F1Q|=4,求双曲线的方程.设内切圆与PF1切于A,与PF2
根据圆外一点到圆的切线长度一样,所以PA|=|PB|,|F1A|=|F1Q|,|F2B|=|F2Q|
再根据双曲线上一点到双曲线的两焦点的距离差就是2a
可以得到|PF1|-|PF2|=2a而|PF1|=|PA|+|F1A|,|PF2|=|PB|+|F2B|,
那么(|PA|+|F1A|)-(|PB|+|F2B|)=2a,又因为PA|=|PB|,
所以 |F1Q|-|F2Q|=2a
双曲线的第二定义
双曲线的焦半径公式：
设双曲线 x^2/a^2-y^2/b^2=1（a＞0，b＞0）的左右焦点为F1,F2
点M(x,y)在左支上时：|MF1|＝－a－ex， |MF2|=a－ex ，|MF2|-|MF1|=2a
点M(x,y)在右支上时：|MF1|＝a＋ex， |MF2|=－a＋ex ，|MF1|-|MF2|=2a
因为|PA|=|PB
(|PA|+|F1A|)-(|PB|+|F2B|)=2a
|F1A|-|F2B|=2a
||F1A|=|F1Q|，|F2B|=|F2Q
所以 |F1Q|-|F2Q|=2a
说明Q点在双曲线上，为双曲线的右顶点。