作业帮计算这个积分
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 16:52:51
计算这个积分
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∫[-π/4,π/4]x/(1+sinx)dx=∫[-π/4,π/4]x(1-sinx)/cos^2xdx
=∫[-π/4,π/4]xd(tanx-1/cosx)
=x(tanx-1/cosx)|[-π/4,π/4]-∫[-π/4,π/4](tanx-1/cosx)dx
=-π/√2+∫[-π/4,π/4](1-sinx)/cosxdx
=-π/√2+∫[-π/4,π/4]cosx/(1+sinx)dx
=-π/√2+ln(1+sinx)|[-π/4,π/4]
=-π/√2+2ln(√2+1)
∫x/(1+sinx)dx=∫xd[∫1/(1+sinx)]=x∫1/(1+sinx)-∫[∫1/(1+sinx)dx]dx
∫1/(1+sinx)dx=∫(1-sinx)/(cosx)^2dx=∫(secx)^2dx+∫dcosx/(cosx)^2
=tanx-1/cosx=tanx-secx
∫[∫1/(1+sinx)dx]dx=∫(tanx-secx)dx=-ln|c...
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∫x/(1+sinx)dx=∫xd[∫1/(1+sinx)]=x∫1/(1+sinx)-∫[∫1/(1+sinx)dx]dx
∫1/(1+sinx)dx=∫(1-sinx)/(cosx)^2dx=∫(secx)^2dx+∫dcosx/(cosx)^2
=tanx-1/cosx=tanx-secx
∫[∫1/(1+sinx)dx]dx=∫(tanx-secx)dx=-ln|cosx|-ln|tanx+secx|=-ln(1+sinx)
所以∫x/(1+sinx)dx=x(tanx-secx)+ln(1+sinx)+C
(-π/4,π/4)∫x/(1+sinx)dx=-√2π/2+ln(3+√2)
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