作业帮证明：椭圆的一个焦点向向M发射的光线的反射必过另一个焦点,其中M是椭圆上的一点,椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1,急,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 12:14:32
证明：椭圆的一个焦点向向M发射的光线的反射必过另一个焦点,其中M是椭圆上的一点,椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1,急,
证明：椭圆的一个焦点向向M发射的光线的反射必过另一个焦点,
其中M是椭圆上的一点,椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1,急,
证明：椭圆的一个焦点向向M发射的光线的反射必过另一个焦点,其中M是椭圆上的一点,椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1,急,
证明：
①假设椭圆x²/a² + y²/b² = 1 有任一点M(x,y),M点法线与F1M夹角 如果等于M点法线与F2M夹角,则满足光的反射定律,下面证明这两个夹角相等.
②因为法线与该点切线垂直,故此,先求切线斜率：
（要用到微分的知识）
对x²/a² + y²/b² = 1 两端微分：
2x dx/a² + 2y dy/b² = 0
dy/dx = - b²x/a²y
这是切线的斜率,法线与切线垂直,所以法线斜率k=a²y/b²x .
③将x-o-y平面看成是复平面,则法线N上单位复数表示为n,如果F1M上的单位复数是L1,直线F2M上的单位复数是L2,根据复数相乘规则,复数角度相加：
L1 * L2 ---（如果L1的角度是α,L2的角度是β,L1 *L2的角度 = α + β）
n² ---（如果n的角度是γ,则n²的角度就是2γ）
先在法线N上截取一个复数（模大小不影响方向）:N=b²x + a²y.i
N²
=(b²x + a²y.i)²
=b^4 * x² - a^4 * y² + 2a²b²xy.i
=[(b^4 * x² + a²b²y² ) - a²b²y²] - [a^4 * y² + a²b²x²] + a²b²x² + 2a²b²xy.i ---- 配项
=b²(b²x² + a²y²) - a²b²y² - a²(a²y² + b²x²) + a²b²x² + 2a²b²xy.i
=b²*a²b² - a²b²y² - a²*a²b² + a²b²x² + 2a²b²xy.i
N²/a²b² = b² -a² + (x² -y² + 2xy.i)
=(x + y.i)² -c²
=(x + y.i + c)(x + y.i -c)
点M的复数表示是 x + y.i,x + y.i -c 代表矢量F1M,x + y.i + c代表矢量F2M
因此 N²/a²b² = K * L1 * L2 （K是实数）
法线单位矢量 n² = L1 * L2
2γ = α + β
γ = (α + β)/2
法线是∠F1MF2的角平分线.
---完---