四边形ABCD是正方形,点E是边BC中点,AE=EF,EF角正方形外角的平分线CF于点F.求角AEF=90°

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/27 15:04:04

四边形ABCD是正方形,点E是边BC中点,AE=EF,EF角正方形外角的平分线CF于点F.求角AEF=90°
四边形ABCD是正方形,点E是边BC中点,AE=EF,EF角正方形外角的平分线CF于点F.求角AEF=90°

四边形ABCD是正方形,点E是边BC中点,AE=EF,EF角正方形外角的平分线CF于点F.求角AEF=90°
取AB的中点G,连接EG,
∵E、G分别为正方形的边AB、BC的中点,∴AG=BG=BE=CE,
由∠B=45°得∠BGE=45°,∴∠AGE=135°,
∵CF平分外角,∴∠ECF=135°,
在ΔAGE与ΔECF中：
AG=EC,∠AGE=∠ECF=135°,AE=EF,
∴ΔAGE≌ΔECF,
∴∠BAE=∠CEF,
∵∠BAE+∠AEB=90°,
∴∠AEB+∠CEF=90°,
∴∠AEF=90°.

楼上正解

EF交CD 于O,连接ED
因为ΔEDC是直角三角形，射影定理ΔECO与ΔDCE相似，∠CEF=∠CDE
因为正方形 ΔABE与ΔDCE全等得∠BAE=∠CDE 所以∠CEF=∠BAE
因为 ∠BAE+∠AEB=90° ∠AEF=180°-∠AEB-∠CEF=180°-∠BAE∠AEB=90°
办法比较笨，不过是算出来了

过点F作FH垂直BH于H
所以角EHF=90度
因为CF平分角BCD度外角
所以角FCH=45度
因为角FCH+角CFH+角EHF=90度
所以角FCH=角CFH=45度
所以CH=FH
在直角三角形ECH中，由勾股定理得：
EF^2=(CE+CH)^2+FH^2
因为ABCD是正方形
所以角B=90度
AB=...

全部展开

过点F作FH垂直BH于H
所以角EHF=90度
因为CF平分角BCD度外角
所以角FCH=45度
因为角FCH+角CFH+角EHF=90度
所以角FCH=角CFH=45度
所以CH=FH
在直角三角形ECH中，由勾股定理得：
EF^2=(CE+CH)^2+FH^2
因为ABCD是正方形
所以角B=90度
AB=BC
因为E是BC的中点
所以BE=CE=1/2AB=1/2BC
在直角三角形ABE中，由勾股定理得：
AE^2=AB^2+BE^2
所以AE^2=5BE^2
因为AE=EF
所以5BE^2=(BE+FH)^2+FH^2
FH^2+FH*BE-2BE^2=0
所以FH=BE
因为角B=角EHF=90度（已证）
AE=EF（已知）
所以直角三角形ABE和直角三角形EHF全等（HL)
所以角BAE=角HEF
因为角B+角BAE+角AEB=180度
所以角HEF+角AEB=90度
因为角AEF+角AEB+角HEF=180度（平角等于180度）
所以角AEF=90度

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