作业帮三角形面积如图,求怎么推导出来的
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 15:06:53
三角形面积如图,求怎么推导出来的
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海伦公式····请自行百度····额，详细说下吧与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》）中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为下述推导[1]
cosC = (a^2+b^2-c^2）/2ab
S=1/2*ab*sinC
=1/2*ab*√（1-cos^2 C)
=1/2*ab*√[...
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海伦公式····请自行百度····
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设△ABC中B为锐角，过A作BC边上的高AD=h；设p=(a+b+c)/2；△ABC的面积为S；
由余弦定理：b²=a²+c²-2accosB...........(1)；
其中cosB=BD/AB=[√(c²-h²)]/c；代入(1)式得：b²=a²+c²-2a√(c²-h²)；<...
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设△ABC中B为锐角，过A作BC边上的高AD=h；设p=(a+b+c)/2；△ABC的面积为S；
由余弦定理：b²=a²+c²-2accosB...........(1)；
其中cosB=BD/AB=[√(c²-h²)]/c；代入(1)式得：b²=a²+c²-2a√(c²-h²)；
移项得 2a√(c²-h²)=a²+c²-b²；两边同除以2a得 √(c²-h²)=(a²+c²-b²)/2a；故：
h²=c²-(a²+c²-b²)²/4a²
=[c+(a²+c²-b²)/2a][c-(a²+c²-b²)/2a]
=(1/4a²)[(a+c)²-b²][b²-(a-c)²]
=(1/4a²)(a+c+b)(a+c-b)(b+a-c)(b-a+c)
=(1/4a²)(2p)[(a+c+b)-2b][(a+b+c)-2c][(a+b+c)-2a]
=(1/4a²)(2p)(2p-2b)(2p-2c)(2p-2a)
=(4/a²)[p(p-a)(p-b)(p-c)]
故得a²h²/4=(ah/2)²=S²=[p(p-a)(p-b)(p-c)]
∴S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]。
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