三角形ABC中,A,B,C三个顶点的坐标分别为A(3,7)B(-4,3)C(1,-4),求三角形ABC的面积?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 22:14:34

三角形ABC中,A,B,C三个顶点的坐标分别为A(3,7)B(-4,3)C(1,-4),求三角形ABC的面积?
三角形ABC中,A,B,C三个顶点的坐标分别为A(3,7)B(-4,3)C(1,-4),求三角形ABC的面积?

三角形ABC中,A,B,C三个顶点的坐标分别为A(3,7)B(-4,3)C(1,-4),求三角形ABC的面积?

解法一：求一边所在直线方程及该边长度,再求另外一顶点到该边的距离(用点到直线的距离公式)
设AC所在直线方程为：y=kx+b
将A(3,7),C(1,-4)两点坐标代入方程
3k+b=7
k+b=-4
解之得：k=11/2,b=-19/2
y=11/2x-19/2
即：11x-2y-19=0
点B(-4,3)到直线AC的距离d=|11*(-4)-2*3-19|/√[11²+(-2)²]=69/√125
|AC|=√[(1-3)²+(-4-7)²]=√125
S△ABC=1/2*|AC|*d=1/2*√125*69/√125=69/2

解法二：分别求出三边的长,用海伦公式求面积
|AB|=√[(-4-3)²+(3-7)²]=√65
|AC|=√[(1-3)²+(-4-7)²]=√125
|BC|=√[(1+4)²+(-4-3)²]=√74
p=(|AB|+|AC|+|BC|)/2=(√65+√125+√74)/2
S△ABC=√[p(p-|AB|)(p-|AC|)(p-|BC|)]=69/2
(这种方法中的计算过程有点繁琐)

解法三：如图,将△ABC放在矩形ADEF中,求矩形ADEF的面积比较方便,而另外三个直角三角形的面积计算也比较简单,用矩形的面积减去三个直角三角形的面积就可得出△ABC的面积
由图可知：
|AD|=7,|BD|=4,|AF|=11,|CF|=2,|BE|=7,|CE|=5
S矩ADEF=|AD|*|AF|=7*11=77
S△ABD=1/2*|AD|*|BD|=1/2*7*4=14
S△ACF=1/2*|AF|*|CF|=1/2*11*2=11
S△BEC=1/2*|BE|*|CE|=1/2*7*5=35/2
S△ABC=S矩ADEF-S△ABD-S△ACF-S△BEC=77-14-11-35/2=69/2