若abc∈R＋,求证c/（a+b）＋a/（b+c）+b/（c+a）≥3/2怎么证啊

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/06 01:09:14

若abc∈R＋,求证c/（a+b）＋a/（b+c）+b/（c+a）≥3/2怎么证啊
若abc∈R＋,求证c/（a+b）＋a/（b+c）+b/（c+a）≥3/2
怎么证啊

若abc∈R＋,求证c/（a+b）＋a/（b+c）+b/（c+a）≥3/2怎么证啊
证明：c/(a+b)＋a/(b+c)+b/(c+a)
=[(a+b+c)/(a+b)]-1+[(a+b+c)/(b+c)]-1+[(a+b+c)/(c+a)]-1
= -3+[(a+b+c)/(a+b)]+[(a+b+c)/(b+c)]+[(a+b+c)/(c+a)]
= -3+(a+b+c)[1/(a+b)]+[1/(b+c)]+[1/(c+a)]
将(a+b+c)拆成(1/2)[(a+b)+(b+c)+(c+a)]得
= -3+(1/2)[(a+b)+(b+c)+(c+a)][1/(a+b)]+[1/(b+c)]+[1/(c+a)]
= -3+(1/2){1+[(a+b)/(b+c)]+[(a+b)/(c+a)]+1+[(b+c)/(a+b)]+[(b+c)/(c+a)]+1+[(c+a)/(a+b)] +[(c+a) /(b+c)]}
= (-3/2)+ (1/2){[(a+b)/(b+c)]+[(b+c)/(a+b)]+ [(a+b)/(c+a)]+[(c+a)/(a+b)]+ [(b+c)/(a+b)] +[(a+b)/(b+c)]}
每两组结合,运用均值不等式得
≥(-3/2)+ (1/2)[2+2+2]
=3/2

证明：不妨设a≤b≤c
则 c/（a+b）＋a/（b+c）+b/（c+a）≥c/（c+c）＋a/（c+c）+b/（c+c)
=（a+b+c）/2c≥3c/2c=3/2

由柯西不等式可知，[(a+b)+(b+c)+(c+a)]×[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)².====>2(a+b+c)×[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥9.====>[(a+b+c)/(a+b)]+[(a+b+c)/(b+c)]+[(a+b+c)/(c+a)]≥9/2.====>{1+[c/(a+b)]}+{1+[a/(b+c)]}+{1+[b/(c+a)]}≥9/2.====>c/(a+b)+a/(b+c)+b/(c+a)≥3/2.等号仅当a=b=c时取得。

已知a,b,c∈R＋,求证：（a+b）（b+c）（a+c）≥8abc 若abc∈R＋,求证c/（a+b）＋a/（b+c）+b/（c+a）≥3/2怎么证啊已知a,b,c∈R＋.求证 (ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c²)≥16abc 均值不等式以知a,b,c∈Ｒ＋,求证：（a+b+c+1)(ab+ac+bc+c的平方）≥16abc 设a,b,c∈R ,a+b+c=0 ,abc＜0求证 1/a ＋ 1/b ＋ 1/c ＞0 设a,b,c∈R,a+b+c等于o,abc＜0,求证1/a＋1/b+1/c＞O 设a,b,c∈R和a+b+c等于o,abc＜0,求证1/a＋1/b+1/c＞O急. 已知abc∈R* 求证.a（a^2＋b^2）＋b（c^2＋a^2）＋c（a^2＋b^2）≥6abc 已知a,b,c∈（0,＋∞）,若x,y,z∈R,求证（b＋c）x2/a+（c+a）y2/b+（a+b）z2/c≥2（xy+yz+zx）.⑵设a,b,c∈R,且a+b+c＝1,求证a2+b2+c2≥1/3.备注：x,y,z,abc后面的2都是平方. 已知a,b,c=R+ ,求证:(a+b)*(a+c)*(b+c)>=8abc 若abc属于R.求证a4+b4+c4大于等于a2b2+b2c2+c2a2大于等于abc（a+b+c）已知a,b,c属于R＋,求证：ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)大于等于6abc 若abc∈ R+ ,求证(a+b+c)(a³+b³+c³)≥(a²+b²+c²) 已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1,求证（1-a）（1-b）（1-c）≥8abc 例25：（综合法）设a,b,c∈R+,求证ab(a+b)+bc(b+c)+ca(a+c)≥6abc 已知a,b,c∈R,求证：b∧2c∧2＋c∧2a∧2＋a∧2b∧2大于等于abc(a+b+c) 已知abc∈R,求证b^2/a+c^2/b+a^2/c≥c√b/a+a√c/b+b√a/c已知a,b,c∈R,求证b^2/a+c^2/b+a^2/c≥c√b/a+a√c/b+b√a/c错了 a,b,c∈R+ 已知a,b,c,∈R,求证：a^2b^2+b^2c^2+c^2a^≥abc(a+b+c)