作业帮关于一道三角函数的化简题化简该式
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 14:57:47
关于一道三角函数的化简题化简该式
关于一道三角函数的化简题
化简该式
关于一道三角函数的化简题化简该式
我们会用到公式:
它们成立的条件是cosx/2与sinx/2本身是>=0的.
比如当x>=0,且<=pi.
首先我们对原来的式子作变形,得到:
最外层根号的分子与分母都除以2,得到:
反复这样操作,最终得到:
没有办法,我们只能把(cosa)/2写成cos(arcos(cos(a)/2))
然后由里到外,不断褪去根号:
第一步,得到:
注意arccos取值为[0,pi],所以公式可用.
第二步,我们把sin用cos写出,得到:
再次褪去一层根号,得到:
公式仍然成立.
第三步,我们把sin用cos写出,再褪去根号,得到:
第四步,我们得到最终结果:
我们的想法,源于Viete的无穷乘积.
Euler曾经对它有一个犀利的推广:
(1)
对(1)我们有几点说明:
如果在公式(1)中,代入x=pi/2,便得到Viete的公式,
这是因为 
这就是我们方法的灵感来源.
2.如何推导(1),这是因为:
这是反复使用"半角公式"的结果,再取极限我们就能得到(1)
:)