作业帮直线L：y=x+m 与离心率为根号3的双曲线（焦点在x轴）交于p q 直线L交y轴于R 且向量op×oq=—3 向量pq=4Rq 求双曲线方程
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/07 01:19:11
直线L：y=x+m 与离心率为根号3的双曲线（焦点在x轴）交于p q 直线L交y轴于R 且向量op×oq=—3 向量pq=4Rq 求双曲线方程
直线L：y=x+m 与离心率为根号3的双曲线（焦点在x轴）交于p q 直线L交y轴于R 且向量op×oq=—3 向量pq=4Rq
求双曲线方程
直线L：y=x+m 与离心率为根号3的双曲线（焦点在x轴）交于p q 直线L交y轴于R 且向量op×oq=—3 向量pq=4Rq 求双曲线方程
直线L：y=x+m 与离心率为根号3的双曲线（焦点在x轴）交于p q 直线L交y轴于R 且向量op×oq=—3 向量pq=4Rq,求双曲线方程
解析：设双曲线为x^2/a^2-y^2/b^2=1,e=√3
E=c/a==>1+b^2/a^2=3==>b^2=2a^2
∵直线L：y=x+m==>y^2=x^2+m^2+2mx
代入双曲线得(b^2-a^2)x^2-2a^2mx-a^2m^2-a^2b^2=0
即a^2x^2-2a^2mx-a^2m^2-2a^4=0
X1+x2=2m, x1x2=-(m^2+2a^2)
∵直线L交y轴于R,∴R(0,m)
向量OP(x1,y1), 向量OQ(x2,y2)
向量OP*向量OQ =x1x2+y1y2=-3
y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m^2
∴2x1x2+m(x1+x2)+m^2+3=0
∴-2m^2-4a^2+2m^2+m^2+3=0==> m^2-4a^2+3=0
向量PQ=4向量RQ
向量PQ=(x2-x1,y2-y1), 向量RQ=(x2,m-y1)
x2-x1=4x2==>x1=-3x2
y2-y1=4m-4y1==>y1=(4m-y2)/3
∴x2=-m,x1=3m,y1=0,y2=4m
m^2/a^2=1==>a^2=m^2
由m^2-4a^2+3=0==> a^2=m^2=1
∴双曲线方程为：x^2-y^2/2=1