求方程 x^2-xy-5x-5y-1=0的整数解,

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 01:24:32

求方程 x^2-xy-5x-5y-1=0的整数解,
求方程 x^2-xy-5x-5y-1=0的整数解,

求方程 x^2-xy-5x-5y-1=0的整数解,
设这个方程是关于x的方程,得
x^2-xy-5x-5y-1=0
x^2-(5+y)x-(5y+1)=0
x1=[(5+y)+根号(25+10y+y^2+20y+4)]/2
=[(5+y)+根号(29+30y+y^2)]/2
因为x、y都是整数
因此29+30y+y^2必定是一个完全平方数.
设29+30y+y^2=t^2（t是正整数）,得
y^2+30y+225-225+29=t^2
(y+15)^2-196=t^2
(y+15)^2-t^2=196
(y+15+t)(y+15-t)=196
因为216=2*2*7*7,而且y+15+t和y+15-t的奇偶性相同（这个可以证明,比较简单）,且y+15+t>y+15-t（t>0）,因此只有下列两种可能
y+15+t=y+15-t=14
或 y+15+t=y+15-t=-14
解这些方程,得到
y=-1 t=0
或 y=-29 t=0
把它们代入原方程,解得
x=2 y=-1
或x=-12 y=-29
它们都是原方程的整数解.

x^2-xy-5x+5y-1=0
x(x-y)-5(x-y)-1=0
(x-5)(x-y)=1
x-5=1,x-y=1
x=6,y=5
或
x-5=-1,x-y=-1
x=4,y=5

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