设方程x^2+ax+b-2=0 (a,b∈R)在(-无穷,-2]∪[2,+无穷)上有实根,则a^2+b^2的最小值

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/09 23:05:20

设方程x^2+ax+b-2=0 (a,b∈R)在(-无穷,-2]∪[2,+无穷)上有实根,则a^2+b^2的最小值
设方程x^2+ax+b-2=0 (a,b∈R)在(-无穷,-2]∪[2,+无穷)上有实根,则a^2+b^2的最小值

设方程x^2+ax+b-2=0 (a,b∈R)在(-无穷,-2]∪[2,+无穷)上有实根,则a^2+b^2的最小值
根据题意可知(有实根即有交点),x1=2,列式得;
{-a-√[a^2-4(b-2)]}/2=2 (2)
(1)转化为{a+√[a^2-4(b-2)]}/2>=2 (3)
(2)(3)两式相加,得
√[a^2-4(b-2)]>=4
a^2-4(b-2)>=16 (4)
设a^2+b^2=t,a^2=t-b^2,代入(4)
t-b^2-4(b-2)>=16
t>=b^2+4b+8
t>=(b+2)^2+4>=4
所以a^2+b^2的最小值为4