作业帮证明：n属于z,当n大于等于3时,2的n次幂大于2n+1
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 07:41:38
证明：n属于z,当n大于等于3时,2的n次幂大于2n+1
证明：n属于z,当n大于等于3时,2的n次幂大于2n+1
证明：n属于z,当n大于等于3时,2的n次幂大于2n+1
证明：
法1.
用二项式展开
因为2^N=(1+1)^N=C(N,0)+C(N,1)+C(N,2)+...+C(N,N-1)+C(N,N)
当N>=3,有2^N=(1+1)^N>=C(N,0)+C(N,1)+C(N,N-1)+C(N,N)
=1+N+N+1=2(N+1)>2N+1命题得证
法2
利用函数单调性证明
记f(x)=2^x-2(x+1),x>=3
求导f'(x)=(ln2)2^x-2>=(ln2)2^3-2>0,x>=3
知f(x)在x>=3上单调递增
则有f(x)>=f(3)=0,整理即2^x>=2(x+1),x>=3
我们取n(>=3,n∈N+)替换x,有2^n>=2(n+1)>2n+1,命题得证
【数学归纳法也可证】
当n=3时
2^3-(2*3+1)=2>0
证得 2^n>2n+1
假设当n=k(k>=3)时,2^k>2k+1
当n=k+1 k>=3
2^n-(2n+1)
=2^(k+1)-(2(k+1)+1)
=2*2^k-2k-3
=2*2^k-(2k+1)-2
=2^k-(2k+1)+2^k-2^1
=2^k-(2k+1)+2^(k-1)>0
证得 2^n>2n+1
所以 2^n>2n+1
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