1、已知：抛物线y=ax2+6ax+c与x轴的一个交点为A（-2,0）①求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标.②点C是抛物线与y轴的交点,D是抛物线上一点,且以AB为一底的梯形ABCD的面积为32,求此抛物线的解析

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/08 14:16:20

1、已知：抛物线y=ax2+6ax+c与x轴的一个交点为A（-2,0）①求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标.②点C是抛物线与y轴的交点,D是抛物线上一点,且以AB为一底的梯形ABCD的面积为32,求此抛物线的解析
1、已知：抛物线y=ax2+6ax+c与x轴的一个交点为A（-2,0）
①求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标.
②点C是抛物线与y轴的交点,D是抛物线上一点,且以AB为一底的梯形ABCD的面积为32,求此抛物线的解析式.
③E是第二象限内到x轴、y轴距离之比为3：1的点.若E在②中的抛物线上,且a＞0,
E和A在对称轴同侧.问在抛物线的对称轴上是否存在P点,使△APE周长最小.若存在,求出P点的坐标,若不存在,请说明理由.

1、已知：抛物线y=ax2+6ax+c与x轴的一个交点为A（-2,0）①求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标.②点C是抛物线与y轴的交点,D是抛物线上一点,且以AB为一底的梯形ABCD的面积为32,求此抛物线的解析
因为是抛物线y=ax^2+6ax+c,则a不等于0
抛物线的对称轴是x=-6a/(2a)=-3
(1)
曲线和x轴其中一个交点是A（-2,0）
那么另一个交点B是A关于x=-3的对称点,
（xb+xa)/2=-3 =》xb=-6-xa=-4
因此是B点坐标是(-4,0)
（2）
C是抛物线和y轴的交点,并且ABCD是梯形,AB是一底,因此有CD平行于AB,CD是一条水平线.C点x坐标为0,=》
yc=c
同样的D点也是C点关于x=-3的对称点,因此yd=c,xd=2*-3=-6
=》|CD|=6
又|AB|=|-4+2|=2
Sabcd=1/2(|AB|+|CD|)*|yc|=1/2*(2+6)*|c|=32
=>|c|=8 =>c=8或-8
将A（-2,0）代入抛物线方程
=》4a-12a+c=0
=>a=c/8
=>a=1或-1
因此抛物线方程是y=x^2+6x+8或y=-x^2-6x-8
（3）
E是第二象限内到x轴、y轴距离之比为3：1的点,因此E是在通过原点并且斜率是-3的直线上,也就是在直线y=-3x上
因为a>0,因此抛物线方程是y=x^2+6x+8
将y=-3x代入抛物线方程=>
-3x=x^2+6x+8
=>x^2+9x+8=0
=>x=-1 (因为是和A同侧,因此舍去x=-8）
=>y=3
因此E点坐标是(-1,3),因为AE长度固定,因此要使APE的周长最小,也就是求AP+PE的距离和的最小值,又因为AB关于对称轴对称,因此AP=BP,
所以AP+PE=BP+PE>=BE (三角形两边和大于第三边,画图就知道了）
也就是当P点在BE连线和对称轴相交的交点时取得最小值
BP的直线方程：(y-0)/(3-0)=(x+4)/(-1+4)
=>y=x+4
将对称轴x=-3代入得y=1
因此所求的P点坐标是（-3,1）