作业帮[（1+x)^1/x-(1+2x)^1/2x]/sinx,x趋于0时的极限怎么求?（答案是-e/2)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 17:07:15
[（1+x)^1/x-(1+2x)^1/2x]/sinx,x趋于0时的极限怎么求?（答案是-e/2)
[（1+x)^1/x-(1+2x)^1/2x]/sinx,x趋于0时的极限怎么求?（答案是-e/2)
[（1+x)^1/x-(1+2x)^1/2x]/sinx,x趋于0时的极限怎么求?（答案是-e/2)
正确的答案应该是：
（1+x)^1/x取对数,泰勒展开ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2),所以ln(1+x)/x=1-x/2+o(x);
同理,ln(1+2x)/2x=1-x+o(x).
所以lim[（1+x)^1/x-(1+2x)^1/2x]/sinx
=lime×{e^(-x/2+o(x))- e^(-x+o(x))}/x
=lime×{[e^(-x/2+o(x))-1]/x +[1- e^(-x+o(x))]/x}
=lime×{[ -x/2+o(x)]/x -[-x+o(x))]/x}
= e×{ -1/2+1 }=e/2
(因为（1+1/n）^n是递增数列,所以（1+x)^1/x是递减函数,所以原答案是错误的)
x→0时sinx∽x,ln(1+x)∽x,(1+x)^(1/x)→e,
∴原式→{e^[(1/x)ln(1+x)]-e^[1/(2x)*ln(1+2x)]}/x
→{(1+x)^(1/x)*[(-1/x^)ln(1+x)+1/(x(1+x))]-(1+2x)^[1/(2x)]*[-1/(2x^)*ln(1+2x)+1/(x(1+2x))]
→e*[-1/x+1/(x(x+1...
全部展开
x→0时sinx∽x,ln(1+x)∽x,(1+x)^(1/x)→e,
∴原式→{e^[(1/x)ln(1+x)]-e^[1/(2x)*ln(1+2x)]}/x
→{(1+x)^(1/x)*[(-1/x^)ln(1+x)+1/(x(1+x))]-(1+2x)^[1/(2x)]*[-1/(2x^)*ln(1+2x)+1/(x(1+2x))]
→e*[-1/x+1/(x(x+1))]-e[-1/x+1/(x(1+2x))]
→e[-1/(1+x)+2/(1+2x)]
→e/[(1+x)(1+2x)]
→e.
答案和您给的不一样，请检查。
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