作业帮2的a次方=5的b次方=10的c次方,求证：ab=ac+bc
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/15 06:14:12
2的a次方=5的b次方=10的c次方,求证：ab=ac+bc
2的a次方=5的b次方=10的c次方,求证：ab=ac+bc
2的a次方=5的b次方=10的c次方,求证：ab=ac+bc
证明：因为2^a=5^b=10^c≠1,所以a、b、c≠0.
在2^a=10^c的两边同乘1/a次方,得
(2^a)^(1/a)=(10^c)^(1/a)
2=10^(c/a)
在5^b=10^c的两边同乘1/b次方,得
(5^b)^(1/b)=(10^c)^(1/b)
5=10^(c/b)
把所得两式相乘得
2×5=10^(c/a)×10^(c/b)
10=10^(c/a+c/b)
底数相同,所以次数相等,可得
1=c/a+c/b
两边同乘以ab,得
ab=ac+bc
2^a=5^b=10^c,
取对数得alg2=blg5=c,
∴c/a=lg2,c/b=lg5,
∴c/a+c/b=1,
∴ab=ac+bc 。
alg2=blg5=c
ab=(c/lg2)(c/lg5)=c²/(lg2lg5)
ac+bc=c(a+b)=c(c/lg2+c/lg5)=c²(lg2+lg5)/(lg2lg5)=c²lg(2*5)/(lg2lg5)=c²/(lg2lg5)
∴ab=ac+bc
证明：∵2^a=5^b=10^c
∴等式两边取以10为底的对数，得
alog2=blog5=clog10
即 alog2=blog5=c
从而 a=c/log2,b=c/log5
∴ac+bc=c^2/log2+c^2/log5
=c^2(log2+log5/(...
全部展开
证明：∵2^a=5^b=10^c
∴等式两边取以10为底的对数，得
alog2=blog5=clog10
即 alog2=blog5=c
从而 a=c/log2,b=c/log5
∴ac+bc=c^2/log2+c^2/log5
=c^2(log2+log5/(log2*log5))
=c^2(log10/(log2*log5))
=c^2/(log2*log5) ①
ab=c/log2*c/log5=c^2/(log2*log5) ②
由①②得 ab=ac+bc.
收起