作业帮三个高等数学极限题（1/x^2)-(cotx)^2=[(1+x)^(1/x)-e]/x={e^[-1/(x^2)]}/(x^100)=都是x→0的时候
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 02:58:23
三个高等数学极限题（1/x^2)-(cotx)^2=[(1+x)^(1/x)-e]/x={e^[-1/(x^2)]}/(x^100)=都是x→0的时候
三个高等数学极限题
（1/x^2)-(cotx)^2=
[(1+x)^(1/x)-e]/x=
{e^[-1/(x^2)]}/(x^100)=
都是x→0的时候
三个高等数学极限题（1/x^2)-(cotx)^2=[(1+x)^(1/x)-e]/x={e^[-1/(x^2)]}/(x^100)=都是x→0的时候
楼主稍等,因为题目求解太繁,我做一个清晰的图片上来.
一楼、二楼都不对,三楼最后的系数出了一点错.
以下图片上的解法,一律用罗必达法则求导.
无需无穷小代换,也无需变量代换.
（1）泰勒展开展开cot x式前两项代入即可
（2）令ln y=ln((1+x)^(1/x))求(y-e)'，分子分母都为0 ，用洛贝塔法则求上下导数比
（3）分子分母都为0 ，上下求导，每次可以消去分母的x的4次方，直到分母不含x
1. lim(x->0)(1/x^2-(cotx)^2)
=lim(x->0)((sinx)^2-x^2(cosx)^2)/(x^2(sinx)^2)
=lim(x->0)((sinx)^2-x^2(cosx)^2)/x^4
=lim(x->0)(sin2x-2x(cosx)^2+x^2sin2x)/(4x^3)
=lim(x->0)(2co...
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1. lim(x->0)(1/x^2-(cotx)^2)
=lim(x->0)((sinx)^2-x^2(cosx)^2)/(x^2(sinx)^2)
=lim(x->0)((sinx)^2-x^2(cosx)^2)/x^4
=lim(x->0)(sin2x-2x(cosx)^2+x^2sin2x)/(4x^3)
=lim(x->0)(2cos2x-2(cosx)^2+4xsin2x+2x^2cos2x)/(12x^2)
=lim(x->0)(-4sin2x+2sin2x+4sin2x+12xcos2x-4x^2sin2x)/(24x)
=lim(x->0)(4cos2x+12cos2x-32xsin2x-8x^2cos2x)/24
=16/24=2/3 (以上各步用的是洛必达法则)
2. lim(x->0)[(1+x)^(1/x)-e]/x
=lim(x->0)[e^(ln(1+x)/x)-e]/x
=e*lim(x->0)[e^(ln(1+x)/x-1)-1]/x
=e*lim(x->0)[ln(1+x)/x-1]/x （等价无穷小）
=e*lim(x->0)[ln(1+x)-x]/x^2
=e*lim(x->0)[1/(1+x)-1]/(2x) （洛必达）
＝e*lim(x->0)(-x)/((1+x)*2x)
=e*lim(x->0)(-1)/((1+x)*2)
=e*(-1/2)=-e/2
3.此题比较复杂，稍等一会
结果应该为0
令1/x^2=t,则t->+∞
原式=lim(t->+∞)(t^50/e^t)
=lim(t->+∞)(50t^49/e^t) （洛必达）
=...=
=lim(t->+∞)(50!/e^t)
=0
收起
第一个是0，因为(cotx)^2=1/(tanx)^2
x趋近于0的时候，x=tanx
在x趋近于0的时候，e^x=(1+x),所以e=（1+x）^(1/x)
所以第二个也是0
第三个{e^[-1/(x^2)]}/(x^100)=1/{e^[1/(x^2)]*x^100}
因为e^[1/(x^2)]比x^100变化快，多以分母是正无穷，那么值=0