作业帮21
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 11:53:15
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20.已知实数x，y满足：y≦x......(1)；x+ay≦4.......(2)；y≧1......(3)；若z=3x+y的最大值是16， 求a。 作直线L₁：y=x；条件(1)y≦x表明满足此不等式的点都在直线L₁下方(含L₁)； 再作直线L₃：y=1；条件(3)y≧1表明满足此不等式的点都在L₃的上方(含L₃); 再作直线L₂：x+ay=4；此直线过定点M(4，0)；令x=0，得y=4/a；当a>0时，该直线L₂与y轴的 交点(0，4/a)在y轴的正半轴上，此时满足不等式y≦(4-x)/a的点都在L₂的下方(含L₂)，且4/a>4/3， 【4/3是怎么求出来的？请看下面的说明】。即只有0<a<3时L₁，L₂，L₃才能构成一个共同的三 角形区域。 如果a<0，则L₂在y轴的交点(0，4/a)在y轴的负半轴上，这时的不等式(2)变成y≧(4-x)/a (因为a<0)满足此不等式的点都在直线L₂的上方(含L₂)；这时L₂的斜率-1/a必需满足 -1/a=1/∣a∣<-1才可能与L₁，L₂一起构成一个封闭的三角形区域，然而满足此不等式的a不存 在，因此不考虑a<0的情况。 下面再说明为什么必须4/a>4/3。 设L₁与L₃的交点为A(1，1)；L₁与L₂的交点为C(4/(a-1)，4/(a-1))；L₂与L₃的交点为B(4-a，1)； AB所在直线的方程为y=-(1/3)(x-4)，令x=0，得y=4/3，这是AB在y轴上的截距，只有4/a>4/3， L₁，L₂，L₃才能构成一个共同的三角形区域，这就是4/a>4/3的原因。 将A点的坐标代入z=3x+y得z=3+1=4<16；将B点的坐标代入z=3x+y得z=3(4-a)+1=-3a+13=16， 得a=-1，这与a>0矛盾，故a=-1不可取；最后将C点的坐标代z=3x+y得z=12/(a-1)+4/(a-1)= 16/(a-1)=16，由此解得a=2；这就是合理的a的值。 21.点A、B、C、D在同一个球面上，AB=BC=2，AC=2√2，若四面体ABCD体积的最大值为4/3， 则该球的表面积=？ ∵AB²+BC²=AC²，∴△ABC是直角三角形。AC是△ABC所在园的直径。设AC的中点为O₁, 连接O₁D，则O₁D为四面体的高，且O₁D必过球心O。 设四面体ABCD的高O₁D=h，那么四面体的体积V=(1/3)×(1/2)×2×2×h=(2/3)h=4/3，故h=2； AD=CD=√[O₁D²+(AC/2)²]=√(4+2)=√6；AC=2√2；△ACD是球的大园的内接三角形。 设球的半径为R；OA=OC=OD=R； 由余弦定理，得cos∠ADC=(6+6-8)/12=4/12=1/3，故∠ADC=arccos(1/3)； 于是R=(AD/2)/cos[(1/2)∠ADC]=(√6/2)/cos[(1/2)arccos(1/3)]=(√6/2)/√[(1+1/3)/2]=(√6/2)/√(2/3) =√[(6/4)×(3/2)]=√(9/4)=3/2. 故球的表面积S=4π(3/2)²=9π.