设动点P到点A（-1,0）和B（1,0）的距离分别为d1和d2,∠APB=2θ,若d1d2cos²θ=1（1）求动点P的轨迹C的方程（2）过点B做直线l叫轨迹C于M,N两点,交直线x=4于点E,求|EM|*|EN|的最小值 求详细过程 谢

设动点P到点A（-1,0）和B（1,0）的距离分别为d1和d2,∠APB=2θ,若d1d2cos²θ=1（1）求动点P的轨迹C的方程（2）过点B做直线l叫轨迹C于M,N两点,交直线x=4于点E,求|EM|*|EN|的最小值 求详细过程 谢
设动点P到点A（-1,0）和B（1,0）的距离分别为d1和d2,∠APB=2θ,若d1d2cos²θ=1（1）求动点P的轨迹C的方程（2）过点B做直线l叫轨迹C于M,N两点,交直线x=4于点E,求|EM|*|EN|的最小值 求详细过程 谢谢!

设动点P到点A（-1,0）和B（1,0）的距离分别为d1和d2,∠APB=2θ,若d1d2cos²θ=1（1）求动点P的轨迹C的方程（2）过点B做直线l叫轨迹C于M,N两点,交直线x=4于点E,求|EM|*|EN|的最小值 求详细过程 谢
（1）
∵A（-1,0）和B（1,0）的距离分别
为d1和d2,∠APB=2θ
根据余弦定理
|AB|²=d²1+d²2-2d1d2cos2θ
∴4=d²1+d²2-2d1d2(2cos²θ-1)
=d²1+d²2+2d1d2-4d1d2cos²θ
∵d1d2cos²θ=1
∴4=d²1+d²2+2d1d2-4
∴(d1+d2)²=8
∴d1+d2=2√2>|AB|
∴P轨迹为以A,B为焦点的椭圆
其中c=1,a=√2,b²=a²-c²=1
∴动点P的轨迹C的方程
为x²/2+y²=1
(2)
依题意直线l的斜率存在,设为k
则l方程为y=k(x-1)
y=k(x-1)与x=4交于E(4,3k)
y=k(x-1)代入x²/2+y²=1
得：x²+2k²(x-1)²-2=0
即(2k²+1)x²-4k²x+2k²-2=0
Δ>0恒成立
设M(x1,y1),N(x2,y2)
则x1+x2=4k²/(2k²+1),x1x2=(2k²-2)/(2k²+1)
∴|EM|=√[(4-x1)²+(3k-y1)²]=√(1+k²)*√(4-x1)²
|EN|=√[(4-x2)²+(3k-y2)²]=√(1+k²)*√(4-x2)²
∴u=|EM||EN|=(1+k²)(4-x1)(4-x2)
=(1+k²)[16-4(x1+x2)+x1x2]
=(1+k²)[16-16k²/(2k²+1)+2(k²-1)/(2k²+1)]
=(1+k²)(18k²+14)/(2k²+1)
设2k²+1=t≥1
∴k²=(t-1)/2
∴u=1/2(t+1)(9t+5)/t
=1/2(9t²+14t+5)/t
=1/2(9t+5/t+14)
u'=1/2[9-5/t²]=1/2*(9t²-5)/t²
∵t≥1 ∴u'>0恒成立
∴t=1时,umin=14
即|EM||EN|的最小值为14

　　（1）三角形APB中，有4=d1^2+d2^2-2d1d2cos2θ=d1^2+d2^2-2d1d2(2cos²θ-1)
　　 =d1^2+d2^2-4d1d2cos²θ+2d1d2=d1^2+d2^2-4+2d1d2
　　 ...

全部展开

　　（1）三角形APB中，有4=d1^2+d2^2-2d1d2cos2θ=d1^2+d2^2-2d1d2(2cos²θ-1)
　　 =d1^2+d2^2-4d1d2cos²θ+2d1d2=d1^2+d2^2-4+2d1d2
　　 =(d1+d2)^2-4 d1+d2>0
　　 d1+d2=2根号2（负值舍去）=2a =定值 故轨迹为椭圆，c=1 b^2=a^2-c^2=1
　　 轨迹方程为x^2/2+y^2=1
　　(2) 设MN:y=k(x-1),①
　　 代入椭圆方程x^2/2+y^2=1
　　 整理得 (1+2k^2)x^2-4k^2x+2k^2-2=0,
　　 设M(x1,y1),N(x2,y2),
　　 由韦达定理得 x1+x2=4k^2/(1+2k^2),
x1x2=(2k^2-2)/(1+2k^2),
　　 易知E(4,3k),
　　 向量EM*EN=(x1-4,y1-3k)*(x2-4,y2-3k)=(x1-4)(x2-4)+(y1-3k)(y2-3k)
　　 =[x1x2-4(x1+x2)+16](1+k^2)(由①）
　　 =[2k^2-2-16k^2+16(1+2k^2)](1+k^2)/(1+2k^2)
　　 =[14+18k^2](1+k^2)/(1+2k^2),
　　 设t=1+2k^2,则t≥1,k^2=(t-1)/2,上式变为
　　 （5+9t)(1+t)/(2t)=(1/2)(9t+5/t+14)≥14（t=1时取等号），
　　 所求最小值=14.

收起