作业帮用数学归纳法证明：1的平方+2的平方+3的平方+…+n的平方=n(n+1)(2n+1)/6
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 16:50:16
用数学归纳法证明：1的平方+2的平方+3的平方+…+n的平方=n(n+1)(2n+1)/6
用数学归纳法证明：1的平方+2的平方+3的平方+…+n的平方=n(n+1)(2n+1)/6
用数学归纳法证明：1的平方+2的平方+3的平方+…+n的平方=n(n+1)(2n+1)/6
数学归纳法
当n=1时 等式右边=1*2*3/6=1,成立
假设在n=k时
1^2+2^2……+k^2=k(k+1)(2k+1)/6成立
则n=k+1时
等式左边=1^2+2^2+……+k^2+(k+1)^2
=[k(k+1)(2k+1)/6]+(k+1)^2
=(k+1)[2k^2+k+6(k+1)]/6
=(k+1)(2k^2+7k+6)/6
=(k+1)(k+2)(2k+3)/6
而n=k+1时等式右边=(k+1)(k+2)(2k+3)/6
既左边=右边
故该式在n=k+1时也成立
所以该式在n为任何正整数时成立
n=1 左边=1 右边=1*2*3/6=1 左边等于右边 成立
假设n=k时成立
即
1^2+2^2+3^3+……+k^2=k(k+1)(2k+1)/6
n=k+1时
1^2+2^2+3^3+……+k^2+(k+1)^2
=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2
=(k+1)[k(2k+1)+6k+6]...
全部展开
n=1 左边=1 右边=1*2*3/6=1 左边等于右边 成立
假设n=k时成立
即
1^2+2^2+3^3+……+k^2=k(k+1)(2k+1)/6
n=k+1时
1^2+2^2+3^3+……+k^2+(k+1)^2
=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2
=(k+1)[k(2k+1)+6k+6]/6
=(k+1)[2k^2+7k+6]/6
=(k+1)(k+2)(2k+3)/6
=(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]/6
也成立
所以1的平方+2的平方+3的平方+…+n的平方=n(n+1)(2n+1)/6
收起
首先证明一个定理：
1X2+2X3+3X4+、、、、、、+nX(n+1）
=(1/3)(1*2*3-0*1*2)+(1/3)(2*3*4-1*2*3)+(1/3)(3*4*5-2*3*4)+....+(1/3)[n*(n+1)(n+3)-(n-1)*n*(n+1)]
=(1/3)[n(n+1)(n+2)-0]
=n(n+1)(n+2)/3 。。。。。。。。。。...
全部展开
首先证明一个定理：
1X2+2X3+3X4+、、、、、、+nX(n+1）
=(1/3)(1*2*3-0*1*2)+(1/3)(2*3*4-1*2*3)+(1/3)(3*4*5-2*3*4)+....+(1/3)[n*(n+1)(n+3)-(n-1)*n*(n+1)]
=(1/3)[n(n+1)(n+2)-0]
=n(n+1)(n+2)/3 。。。。。。。。。。。。①
还有另一个求和公式
1+2+3+....................+n=n(n+1)/2。。。。。。。。。②
好了，现在①+②。
直接得出
1的平方+2的平方+3的平方+…+n的平方=n(n+1)(2n+1)/6。
是这样吗？呵呵，加油啊O(∩_∩)O~
收起