抛物线z=x2+y2被平面x+y+z=1截成一椭圆,求原点到这椭圆的最短距离和最长距离

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/01 11:03:45

抛物线z=x2+y2被平面x+y+z=1截成一椭圆,求原点到这椭圆的最短距离和最长距离
抛物线z=x2+y2被平面x+y+z=1截成一椭圆,求原点到这椭圆的最短距离和最长距离

抛物线z=x2+y2被平面x+y+z=1截成一椭圆,求原点到这椭圆的最短距离和最长距离
这个题目有很强的对称性,可先求出原点到椭圆所在平面的距离S和垂足E,由于 x+y+z=1在三个座标轴上的截距都是1,所以可以很快写出垂足的坐标E(1/3,1/3,1/3) S=sqrt(3)/3 sqrt表示根号,做图还可以看出椭圆中心点F(0,0,3) 根据对称性还可以得出D点在椭圆的对称轴上,椭圆的顶点可以用三个式子y=x(柱面)和z=x^2+y^2和x+y+z=1解方程得两组解即两个点,就可以算出长半轴的长,同理用三个式子y=-x和z=x^2+y^2和x+y+z=1算出短半轴,然后就根据以上所求数据求E点到椭圆的最长最短距离m,n,E点和椭圆在同一个平面上,这样就把空间一点到椭圆的距离转化为平面上点到椭圆的距离,最后原点到椭圆的最短最长距离M=sqrt(S^2+m^2) N=sqrt(S^2+n^2) 我用手机打的,过程你自己写吧!

全部展开

椭圆方程为(x+1/2)^2+(y+1/2)^2-3/2 =0
引入拉格朗日函数：
F(x,y,λ)=x^2+y^2+λ[(x+1/2)^2+(y+1/2)^2-3/2 ]
求偏导：
Fx=2x+2λ(x+1/2)
Fy=2y+2λ(y+1/2)
Fλ=(x+1/2)^2+(y+1/2)^2-3/2
三个方程联立得，x^2=y^2=(2± √3)/2
由z=x^2+y^2得z=2± √3
所以
d=√（x^2+y^2+z^2）=√（9±5√3）
d(min）=√（9-5√3）
d(max）=√（9+5√3）

收起

抛物线z=x2+y2被平面x+y+z=1截成一椭圆,求原点到这椭圆的最短距离和最长距离用Gauss计算曲面积分(x-y)dxdy+(y-z)xdydz,x2+y2=1,平面z=0,z=h所围成的外侧大学高等数学求曲面z=x2+y2上距离平面x+y-2z=2最近的点设z=yf(x2-y2),其中f为可微分函数,证明1/xбz/бx+1/yбz/бy=z/y2 x+y+z=1,x2+y2+z2=3则z的范围设x,y,z为正实数且x>=y>=z,求证 X2*Y/Z + Y2*Z/X + Z2*X/Y>=X2+Y2+Z2 已知点（x,y)在抛物线y2=4x上,则z=x2+1/2y2+3的最小值为已知点p x.y在抛物线y2=4x上则z=x2+1/2y2+4 最小值已知xyz满足z+y+z=xyz 求证：x(1-y2)(1-z2)+y(1-x2)(1-z2)+z(1-x2)(1-y2)=4xyz 已知实数x,y,z满足x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=1,求x2/(y+z)+y2/(z+x)+z2/(x+y)的值已知x,y,z满足x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=1,求代数式x2/(y+z)+y2/(x+z)+z2/(x+y)的值、2是平方求证x2+y2+z2>=(x+y+z)平方/3 已知X,Y,Z∈R,且X+Y+Z=1,求证X2+Y2+Z2≥1/3 已知x,y,z是实数,且x+2y-3z=1,求x2+y2+z2的最小值已知x,y,z是实数,且x+2y-3z=1,求x2+y2+z2的最小值. x+2y+3z+4w=1,求x2+y2+z2+w2+(x+y+z+w)2最小值求曲面z=4-x2-y2上平行于平面2x+2y+z-7=0的切平面方程发至107328348 已知x+y+z=xyz,证明：x(1-y2)(1-z2)+y(1-x2)(1-z2)+z(1-x2)(1-y2)=4xyz