作业帮三角形的九点圆半径是三角形外接圆半径的一半,求证明.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 02:45:28
三角形的九点圆半径是三角形外接圆半径的一半,求证明.
三角形的九点圆半径是三角形外接圆半径的一半,求证明.
三角形的九点圆半径是三角形外接圆半径的一半,求证明.
如右图所示,△ABC的BC边垂足为D,BC边中点为L.证法为以垂心H为位似中心,1/2为位似比作位似变换.
连结HL并延长至L',使LL'=HL；做H关于BC的对称点D'.
显然,∠BHC=∠FHE=180°-∠A,所以∠BD'C=∠BHC=180°-∠A,从而A,B,D',C四点共圆.
又因为BC和HL'互相平分于L,所以四边形BL'CH为平行四边形.故∠BL'C=∠BHC=180°-∠A,从而A,B,L',C四点共圆.
综上,A,B,C,D',L'五点共圆.显然,对于另外两边AB,AC边上的F,N,E,M也有同样的结论成立,故A,B,C,D',L',F',N',E',M'九点共圆.此圆即△ABC的外接圆⊙O.
接下来做位似变换,做法是所有的点（⊙O上的九个点和点O本身）都以H为位似中心进行位似比为1/2的位似变换.那么,L'变到了L（因为HL'=2HL）,D'变到了D（因为D'是H关于BC的对称点）,B变到了Q,C变到了R（即垂心与顶点连线的中点）.其它各点也类似变换.O点变成了OH中点V.
位似变换将圆仍映射为圆（容易用向量证明）,因此原来在⊙O上的九个点变成了在⊙V上的九个点,且⊙V的半径是⊙O的一半.
九点圆半径是什么意思
正玄定理一步搞定
九点圆是过三边中点的圆，联结三边中点，得到的三角形与原三角形相似，根据正弦定理a/sin A = 2R，说明外接圆半径和边长成正比。
然后就证出来了，别把它想得太难。
在任意△ABC中，K,M,N分别是边BC,CA,AB的中点，AD,BE,CF是高线，X,Y,Z分别是AH,BH,CH的中点。H,G,O,Q分别是△ABC的垂心,重心,外心和九点圆心.R是△ABC外接圆半径.连XK,YM,ZN。
先证XK,YM,ZN是九点圆的直径，
由四边形定理:
四边形的四边平方之和等于两对角线的平方和加上两对角线中点连线平方的四倍.
在四...
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在任意△ABC中，K,M,N分别是边BC,CA,AB的中点，AD,BE,CF是高线，X,Y,Z分别是AH,BH,CH的中点。H,G,O,Q分别是△ABC的垂心,重心,外心和九点圆心.R是△ABC外接圆半径.连XK,YM,ZN。
先证XK,YM,ZN是九点圆的直径，
由四边形定理:
四边形的四边平方之和等于两对角线的平方和加上两对角线中点连线平方的四倍.
在四边形ABHC中，
AB^2+AC^2+BH^2+CH^2=BC^2+AH^2+4XK^2
根据AH=2RcosA,BH=2RcosB,CH=2RcosC,代入化简得:XK=R。
同理可得:YM=ZN=R.
设XK与OH交于Q'，
因为XH⊥BC,OK⊥BC,XH=AH/2=OK,
所以△XQ'H≌△KQ'O，
即得:XQ'=KQ'，HQ=OQ,
故Q与Q'重合.命题得证。
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