作业帮线性方程组有解的充要条件 证明线性方程组有解的充要条件是它的系数矩阵与增广矩阵的秩相等,怎么证?（不要用向量证）
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 17:56:29
线性方程组有解的充要条件 证明线性方程组有解的充要条件是它的系数矩阵与增广矩阵的秩相等,怎么证?（不要用向量证）
线性方程组有解的充要条件 证明
线性方程组有解的充要条件是它的系数矩阵与增广矩阵的秩相等,怎么证?（不要用向量证）
线性方程组有解的充要条件 证明线性方程组有解的充要条件是它的系数矩阵与增广矩阵的秩相等,怎么证?（不要用向量证）
设n元线性方程组系数矩阵为A,增广矩阵为B
证明：
① 必要性：反证法：设r(A)＜r(B),则B的行阶梯型矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程0=1,
这与方程组有解相矛盾,因此原假设不成立,即r(A)=r(B).
② 充分性：将B化为行阶梯型,设r(A)=r(B)=r(r≤n),则B的行阶梯型矩阵中含有r个非零行,
把这r个非零行的第一个非零元所对应的未知量作为非自由未知量,其余n-r个
作为自由未知量,并令n-r个自由未知量全取0,即可得方程组的一个解.
证毕!
顺便提一下,由以上不难得出,若方程组有
① 当r(A)=r(B)=n时,方程组没有自由未知量,因此只有唯一解.
② 当r(A)=r(B)=r＜n时,方程组有n-r个自由未知量,令它们分别等于C1,C2,C(n-r),
可得含n-r个参数C1,C2,C(n-r)的解,这些参数可取任意值,所以此时方程组有无穷多解!
设n元线性方程组系数矩阵为A，增广矩阵为B
证明：
① 必要性：反证法：设r(A)＜r(B)，则B的行阶梯型矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程0=1，
这与方程组有解相矛盾，因此原假设不成立，即r(A)=r(B)。
② 充分性：将B化为行阶梯型，设r(A)=r(B)=r(r≤n)，则B的行阶梯型矩阵中含有r个非零行，
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设n元线性方程组系数矩阵为A，增广矩阵为B
证明：
① 必要性：反证法：设r(A)＜r(B)，则B的行阶梯型矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程0=1，
这与方程组有解相矛盾，因此原假设不成立，即r(A)=r(B)。
② 充分性：将B化为行阶梯型，设r(A)=r(B)=r(r≤n)，则B的行阶梯型矩阵中含有r个非零行，
把这r个非零行的第一个非零元所对应的未知量作为非自由未知量，其余n-r个
作为自由未知量，并令n-r个自由未知量全取0，即可得方程组的一个解。
证毕！
顺便提一下，由以上不难得出，若方程组有
① 当r(A)=r(B)=n时，方程组没有自由未知量，因此只有唯一解。
② 当r(A)=r(B)=r＜n时，方程组有n-r个自由未知量，令它们分别等于C1,C2,,,C(n-r)，
可得含n-r个参数C1,C2,,,C(n-r)的解，这些参数可取任意值，所以此时方程组有无穷多解！
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