方程cosx=logx的实根个数!

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/14 06:51:01

方程cosx=logx的实根个数!
方程cosx=logx的实根个数!

方程cosx=logx的实根个数!
图解:X>0
LOGX为单调函数,COSX为周期函数,在单调区间分析.
1.当X>10,LOGX>1,不能相交,无交点
2.当O2.1 O2.2 π2.3 2π2.4 3π故有3个解

数形结合
把两个函数的图画在同一个坐标轴中看交点数就行了

画图，看交点个数

作图，找交点
答案：3

严格的讨论太麻烦了，估计也难，大概的倒可以讨论下。以下讨论利用了连续函数的介值定理。
令f(x)=cos x - lg x ，则显然f(x)在（0，+无穷）上连续。
f(1)=cos 1 >0,f(pi)=-1-lg pi <0
f(x)在（0,pi]上单调减，故f(x)在（0，pi)上存在唯一的零点。 （1）
f(2 pi )=1-lg 2pi >0
故...

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严格的讨论太麻烦了，估计也难，大概的倒可以讨论下。以下讨论利用了连续函数的介值定理。
令f(x)=cos x - lg x ，则显然f(x)在（0，+无穷）上连续。
f(1)=cos 1 >0,f(pi)=-1-lg pi <0
f(x)在（0,pi]上单调减，故f(x)在（0，pi)上存在唯一的零点。 （1）
f(2 pi )=1-lg 2pi >0
故f(x)在(pi ,2 pi )上有零点，应该只有一个.（证明可能要考虑导数，分析取值范围，太麻烦-.-) (2)
f(3pi)=-1-lg 3pi <0
f(x)在[2pi ,3pi]上单调减，故 f(x) 在[2pi,3pi]上有且只有一个零点。 （3）
x>3pi时，f(x)<0恒成立，没有零点。
故f(x)在（0，+无穷）上有3个零点。即cosx =lgx 有3个交点。

收起

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