函数无界与x→∞时函数为无穷大,有什么区别?

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 09:10:37

函数无界与x→∞时函数为无穷大,有什么区别?
函数无界与x→∞时函数为无穷大,有什么区别?

函数无界与x→∞时函数为无穷大,有什么区别?
首先比较一下无穷大和无界的区别.当x趋于∞时,无穷大的定义是：对任意的M>0,存在X>0,使得|x|>X时,有|f(x)|>M；而对于无界,可以根据有界的定义及对偶法则得到定义：对任意M>0,存在x,使得|f(x)|>M.对比这两个定义,可以发现无穷大的要求要比无界高,因为无穷大要求从函数的某一点起,后面所有的函数值都要可以大于任意给定的正数,而无界只要求存在某些可以大于任意给定正数的点即可,形象地说就是,无穷大量（从某点后）整体是持续增大的,只能有较小的波动,而无界量增大过程中可以伴随着很大的波动.从定义还可以得到无穷大量一定无界,但无界不一定是无穷大量,也就是说无穷大比无界更“强”的概念.例如函数y=xsinx,取数列xn=2nπ+π/2,则当n趋于∞时xn也趋于∞,这时yn=(2nπ+π/2)sin(2nπ+π/2)=2nπ+π/2可以大于任意给定正数M,因此y无界,但是取另一数列xn=2nπ,则yn=(2nπ)sin(2nπ)=0,即在x趋于∞的过程中y无限次取0,这显然不满足无穷大的要求,因此x趋于∞时y不是无穷大量.

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