已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的点p到左焦点的距离等于到右准线的距离,求此椭圆的离心率e的最小值

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/29 12:14:44

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的点p到左焦点的距离等于到右准线的距离,求此椭圆的离心率e的最小值
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的点p到左焦点的距离等于到右准线的距离,求此椭圆的离心率e的最小值

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的点p到左焦点的距离等于到右准线的距离,求此椭圆的离心率e的最小值
设P到右准线的距离为d,则有|PF1|=d,|PF2|=ed 且
d≥a²/c - a (1)
由 |PF1|+|PF2|=2a 得
d+ed=2a
d(1+e)=2a
由于d≥a²/c - a ,所以
(a²/c - a)(1+e)≤2a
(1/e -1)(1+e)≤2
e²+2e-1≥0
从而 √2 -1≤e

令P(x,y),则P到左焦点的距离为(a+ex),到右准线x=a^2/c的距离为(a^2/c-x)
所以a+ex=a^2/c-x,即x=[a(1-e)]/[e(1+e)]≤a.
所以e^2+2e-1≥0,解之得:1≥e≥[√2-1]/2,(另一个值为负值,舍去)

可设左右焦点分别为F1, F2.
且设点P的横坐标为x,
[[1]]由椭圆第一定义可知
PF1+PF2=2a.
∴PF1=2a-PF2.
[[2]]
易知,点P到右准线的距离为(a²/c)-x.
[[3]]
由椭圆第二定义可知
PF2=e[(a²/c)-x]=a-ex.
[[4]]
结合题...

全部展开

可设左右焦点分别为F1, F2.
且设点P的横坐标为x,
[[1]]由椭圆第一定义可知
PF1+PF2=2a.
∴PF1=2a-PF2.
[[2]]
易知,点P到右准线的距离为(a²/c)-x.
[[3]]
由椭圆第二定义可知
PF2=e[(a²/c)-x]=a-ex.
[[4]]
结合题设可得
PF1=2a-PF2=2a-(a-ex)=a+ex=(a²/c)-x
即有a+ex=(a²/c)-x
该式两边乘以ac,可得
a²c+c²x=a³-acx
(a+c)cx=a²(a-c)
x=[a²(a-c)]/[(a+c)c]
易知,恒有x≤a
∴[a²(a-c)]/[(a+c)c]≤a
∴a²-ac≤c²+ac
(a-c)²≤2c²
a-c≤√2c
a≤(1+√2)c
e=c/a≥1/(1+√2)=√2-1
∴(e)min=√2-1

收起

设点P到右焦点的距离为d(a-c=

√2-1

如何从椭圆的一般方程求椭圆的五个参数已知椭圆一般方程为A*x^2+B*x*y+C*y^2+D*x+E*y+F=0,其中A,B,C,D,E,F,均不为0,现在要去求椭圆的中心坐标(x0,y0),椭圆的长半轴a,椭圆的短半轴b,以及椭圆长半轴与X 已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),则|x| 已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2(a 已知椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^=1(a>b>0),求椭圆内接长方形最大面积是多少? 圆椎曲线数学题已知椭圆x^/a^+y^/b^=1和直线x/a-y/b=1,椭圆离心率e=根号6/3,直线与坐标原点距离为根号3/2,求椭圆方程 一道椭圆的题,已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)A B是 椭圆上两点,线段AB的垂直平分线与X轴相交与P( x0,0)证明:|x0| 关于过已知两点求椭圆方程问题按照老师所讲,已知两点求过两点椭圆方程时,需分类讨论:椭圆在x轴上时 设椭圆为x^2/a^2+y^2/b^2 此时a>b>0椭圆在y轴上时 设椭圆为x^2/b^2+y^2/a^2 此时仍a>b& 已知椭圆标准方程,已知椭圆的方程X^2/a^2+Y^2/(10-a)^2=1,(5 已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1,F1,F2分别是椭圆的左右焦点,当椭圆上存在...已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1,F1,F2分别是椭圆的左右焦点,当椭圆上存在点P使三角形pF1F2的三边构成等差数列求离心率的范围 已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1,F1,F2分别是椭圆的左右焦点,当椭圆上存在...已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1,F1,F2分别是椭圆的左右焦点,当椭圆上存在点P使三角形pF1F2的三边构成等差数列求离心率的范围 已知三角形ABC的顶点B.C在椭圆x^2/3+y^2=1 上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上...已知三角形ABC的顶点B.C在椭圆x^2/3+y^2=1 上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点 已知椭圆方程,求任意一点到这椭圆上最近距离如何求?已知椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1求任意一点到这椭圆上最近距离,如何求? 已知椭圆:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B,(1)若角F1AB=90°,求椭圆离心率(2)椭圆的焦距为2,且AF2=2F2B,求椭圆方程 一道数学题(关于椭圆)已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左右焦点,A为椭圆的上定点,直线AF2交椭圆于另一点B,若椭圆的焦距为2,且AF2=2F2B,求椭圆的方程 已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)与x轴交点为A,O为原点,若存在椭圆上一点M,且MA垂直于MO,求椭圆离心率范围 已知椭圆C1:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为根号3/3,直线l:y=x-2与以原点为...已知椭圆C1:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为根号3/3,直线l:y=x-2与以原点为圆心,以椭圆C1为短半轴已知椭圆C1:x^2/a^2+y^2/b^ 数学题:椭圆 抛物线已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的一条准线方程x=9/根号5,且该椭圆上的点到右焦点的最近距离为3-根号5(1)求椭圆方程(2)设F1,F2是椭圆左右两焦点,A是椭圆与y轴负半轴的 已知椭圆C:x.x/a.a+y.y/b.b=1的左焦点F及点A(0,b),原点O到直线FA的距离为√2/2b 求椭圆C的离心率?