正数a,b,c满足a+b+c-2=0,求证(2-a)(2-b)(2-c)大于等于8abc.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/29 07:49:00

正数a,b,c满足a+b+c-2=0,求证(2-a)(2-b)(2-c)大于等于8abc.
正数a,b,c满足a+b+c-2=0,求证(2-a)(2-b)(2-c)大于等于8abc.

正数a,b,c满足a+b+c-2=0,求证(2-a)(2-b)(2-c)大于等于8abc.
由a +b +c -2=0,
得:2 -a= b+c;
2 -b= a+c;
2 -c= a+b;
故:(2-a)(2-b)(2-c) =(b +c)(a +c)(a +b).
又a,b,c 均为正数,
所以:a+b>=2根号下(ab)
a+c>=2根号下(ac)
c+b>=2根号下(cb)
三式相乘即可得到 :(a+b)(b+c)(c+a)>=8abc,
所以:(2-a)(2-b)(2-c)>=8abc,

(2-a)(2-b)(2-c)大于等于(a+b)(b+c)(a+c)
因为(a+c)^2大于等于4ac
(a+b)^2大于等于4ab
(c+b)^2大于等于4cb
(2-a)(2-b)(2-c)大于等于根号64a^2b^2c^2
(2-a)(2-b)(2-c)大于等于8abc

a+b+c-2=0,a+b+c=2
(2-a)(2-b)(2-c)=(a+b+c-a)(a+b+c-b)(a+b+c-c)=(a+b)(b+c)(a+c)
∵a,b,c是正数
∴(a+b)(b+c)(a+c)≥(2√ab)(2√ac)(2√bc)=8abc