作业帮如图4过椭圆x^2+2y^2=2的一个焦点（-1,0）作直线交椭圆A,B两点O为坐标原点.求三角形AOB面积的最大值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 17:36:07
如图4过椭圆x^2+2y^2=2的一个焦点（-1,0）作直线交椭圆A,B两点O为坐标原点.求三角形AOB面积的最大值
如图4过椭圆x^2+2y^2=2的一个焦点（-1,0）作直线交椭圆A,B两点O为坐标原点.求三角形AOB面积的最大值
如图4过椭圆x^2+2y^2=2的一个焦点（-1,0）作直线交椭圆A,B两点O为坐标原点.求三角形AOB面积的最大值
一、当直线AB不存在斜率时,AB的方程显然是x＝－1.
令x^2＋2y^2＝2中的x＝－1,得：1＋2y^2＝2,∴y^2＝1/2,∴y＝√2/2,或y＝－√2/2.
∴此时｜AB｜＝√2.
很明显,点O到AB的距离＝1.∴此时S(△AOB)＝（1/2）｜AB｜×1＝√2/2.
二、当直线AB存在斜率时,令其斜率＝k,则AB的方程是：y＝k（x＋1）,即x＝y/k－1.
联立：x＝y/k－1、x^2＋2y^2＝2,消去x,得：（y/k－1）^2＋2y^2＝2,
∴（1/k^2）y^2－（2/k）y＋1＋2y^2＝2,∴（2＋1/k^2）y^2－（2/k）y－1＝0.
∵A、B都在直线x＝y/k－1上,∴可令A、B的坐标分别为（m/k－1,m）、（n/k－1,n）.
显然,m、n是方程（2＋1/k^2）y^2－（2/k）y－1＝0的根,∴由韦达定理,有：
m＋n＝（2/k）/（2＋1/k^2）、mn＝－1/（2＋1/k^2）.
∵直线AB过点（－1,0）,∴m、n异号,不妨设m＞0,则｜m｜＋｜n｜＝m－n.
∴此时,
S(△AOB)
＝（1/2）｜m｜＋（1/2）｜n｜＝（1/2）（m－n）＝（1/2）√［（m＋n）－4mn］.
自然,当［（m＋n）－4mn］有最大值时,S(△AOB)就有最大值.
而［（m＋n）－4mn］
＝（2/k）/（2＋1/k^2）＋4/（2＋1/k^2）
＝2/（k＋2/k）＋4/（k＋2/k）＝6/（k＋2/k）.
考虑到椭圆的对称性,只需要考虑k＞0就可以了,此时有k＋2/k≧2√2,
∴［（m＋n）－4mn］≦6/（2√2）＝（3/2）√2.
∴此时S(△AOB)的最大值＝（1/2）√［（3/2）√2］＝（1/4）√（6√2）.
∵64＜72,∴8＜6√2,∴2√2＜√（6√2）,∴√2/2＜（1/4）√（6√2）.
∴综合一、二,得：S(△AOB)的最大值是（1/4）√（6√2）.
答案是1/2根号2。过程很复杂。真要的话，我拍照给你。 快乐欣儿姐 有错。不是m+n，是m+n的平方，漏了平方。
方法是将方程AB与椭圆解析式联之成方程组，设A(x1，y1)B(x2，y2)，代入y，用韦达定理将S三角表示成关于K(AB斜率)的解析式，但是计算过于复杂，是否抄错题目？？？？