当x>0时,证明不等式cos x>1-(1/2)x^2

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/02 11:25:04

当x>0时,证明不等式cos x>1-(1/2)x^2
当x>0时,证明不等式cos x>1-(1/2)x^2

当x>0时,证明不等式cos x>1-(1/2)x^2
cosx=1-2sin²(x/2)
因为sina<a,所以sin(x/2)<(x/2),所以sin²(x/2)<(x/2)²
于是1-2sin²(x/2)>1-2(x/2)²=1-(1/2)x²

列y=cos x-[1-(1/2)x^2]
方程求导 有Y=sin x+x
再求导 有Y1=cos x+1 当x>0是,恒有Y1>=0,所以x>0时,Y为递增函数
则Y>Y(0)=0 也就是x>0时,y为递增函数
则y>y(0)=0所以cos x>1-(1/2)x^2

设f(x)=cosx -1+x^2/2
f'(x)=x-sinx f''(x)=1-cosx>=0 f'(x)单增 f'(0)=0 故f'(x)=x-sinx>0
所以 f(x)单增 又f(0)=0 故 f(x)=cosx -1+x^2/2>0
即cosx > 1 - x^2/2