已知：在等腰RT三角形ABC中,D、E两点在BC上,∠DAE=45° 证明：DE2=BD2+EC2

已知：在等腰RT三角形ABC中,D、E两点在BC上,∠DAE=45° 证明：DE2=BD2+EC2
已知：在等腰RT三角形ABC中,D、E两点在BC上,∠DAE=45° 证明：DE2=BD2+EC2

已知：在等腰RT三角形ABC中,D、E两点在BC上,∠DAE=45° 证明：DE2=BD2+EC2
如图,在∠DAE内作线段AF=AB=AC,且∠FAD=∠DAB.
因∠DAE=45度,∠ACB=90度,所以∠DAB+∠CAE=45度,∠FAE=∠CAE.
所以△BAD与△FAD全等,△FAE与△CAE全等,
所以FD=BD,FE=CE,∠AFD=∠B=45度,∠AFE=∠C=45度,
所以∠DFE=90度,DE^2=FD^2+FE^2,从而DE^2=BD^2+EC^2.

把三角形ABD逆时针旋转90度，得一新三角形ACF，连结EF，DF，
故△ACF≌△ABD，
CF=BD，
AF=AD，
〈BAD=〈FAC，
〈ACF=〈ABD=45度，
〈DAE=45度，
〈BAD+〈EAC=90度-45度=45度，
〈FAE=〈FAC+〈CAE=45度，
AE=AE，
AF=AD，
△A...

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把三角形ABD逆时针旋转90度，得一新三角形ACF，连结EF，DF，
故△ACF≌△ABD，
CF=BD，
AF=AD，
〈BAD=〈FAC，
〈ACF=〈ABD=45度，
〈DAE=45度，
〈BAD+〈EAC=90度-45度=45度，
〈FAE=〈FAC+〈CAE=45度，
AE=AE，
AF=AD，
△AEF≌△AED，
EF=DE，
〈ECF=〈ACE+〈ACF=90度，
三角形ECF是直角三角形，
则EF^2=EC^2+FC^2,
即：DE^2=BD^2+CE^2.

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如果∠A=90°，那么
过点B作MB⊥BC，使得MB=EC（其实就是旋转△AEC）
连接MD
∵MB⊥BC，∠ABC=45°
∴∠MBA=45°
∵MB=EC，AB=AC
∴△AMB≌△AEC
∴AM=AE,
∵∠DAE=45°
∴∠MAD=∠EAD
∴△AMD≌△AED
∴MD=ED
∵MB⊥BC

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如果∠A=90°，那么
过点B作MB⊥BC，使得MB=EC（其实就是旋转△AEC）
连接MD
∵MB⊥BC，∠ABC=45°
∴∠MBA=45°
∵MB=EC，AB=AC
∴△AMB≌△AEC
∴AM=AE,
∵∠DAE=45°
∴∠MAD=∠EAD
∴△AMD≌△AED
∴MD=ED
∵MB⊥BC
∴DM2=BD2+MB2
∴DE2=BD2+EC2 【WORD里面画的图粘不上来】

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证明：三角形ADE中，根据余弦定理有：
DE^2= AD^2+AE^2-2AD*AEcosDAE
=AD^2+AE^2-√2AD*AE
又在三角形ABD和三角形ACE中，根据余弦定理有：
AD^2=AB^2+BD^2-2AB*BDcosB=AB^2+BD^2-√2AB*BD
AE^2=AC^2+EC^2-2AC*ECcosC=AC^2+EC^...

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证明：三角形ADE中，根据余弦定理有：
DE^2= AD^2+AE^2-2AD*AEcosDAE
=AD^2+AE^2-√2AD*AE
又在三角形ABD和三角形ACE中，根据余弦定理有：
AD^2=AB^2+BD^2-2AB*BDcosB=AB^2+BD^2-√2AB*BD
AE^2=AC^2+EC^2-2AC*ECcosC=AC^2+EC^2-√2AC*EC
所以，DE^2=AB^2+BD^2-√2AB*BD+AC^2+EC^2-√2AC*EC-√2AD*AE
=BD^2+EC^2+AB^2+AC^2-√2(AB*BD+AC*EC+AD*AE)
考虑三角形面积公式S=1/2absinC
SABC=SABD+SADC+SAEC
1/2AB*AC=1/2AB*BDsinB+1/2AD*AEsinDAE+1/2AC*ECsinC
AB*AC=√2/2(AB*BD+AD*AE+AC*EC)
所以：AB*BD+AD*AE+AC*EC=√2AB*AC
因此：DE^2=BD^2+EC^2+AB^2+AC^2-√2*√2AB*AC
因为AB=AC
所以：DE^2=BD^2+EC^2

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过D作DF垂直AC，EG垂直AB，DF交GE于点O

可得，BD2=2OG2 ，EC2=2AG2，DE2=2OD2

因为角DOE=90度=2*角DAE，可知点O为三角形ADE外接圆圆心，即得OA=OD=OE

所以得DE2=BD2+EC2

我的做法可能复杂了-.-
过A作BC的垂线,交BC于F
令角DAF=x EAF=y
那么根据各种三角形里的正弦定理就有:
CE/sinx=AC/sinAEC
AD/sinAED=DE/sin45
sinAED=sinAEC
AF/AD=cosx
根据上面4条倒腾一下酒可以得到:CE=DEsin2x
同样BD=DEsin2y

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我的做法可能复杂了-.-
过A作BC的垂线,交BC于F
令角DAF=x EAF=y
那么根据各种三角形里的正弦定理就有:
CE/sinx=AC/sinAEC
AD/sinAED=DE/sin45
sinAED=sinAEC
AF/AD=cosx
根据上面4条倒腾一下酒可以得到:CE=DEsin2x
同样BD=DEsin2y
我们又知道:2x+2y=90
所以sin2y=cos2x
所以BD=DEcos2x
两边平方就得到答案了

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