作业帮高一数学函数与集合的题已知二次函数f(x)=ax^2+bx+1(a＞0)(1)若f(-1)=0,且对任意实数x均有f（x）≥0,求f（x）的表达式；(2)在(1)的条件下,当x∈[-2,2]时,g（x）=f（x）-kx是单调函数,求实数k的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 11:32:21
高一数学函数与集合的题已知二次函数f(x)=ax^2+bx+1(a＞0)(1)若f(-1)=0,且对任意实数x均有f（x）≥0,求f（x）的表达式；(2)在(1)的条件下,当x∈[-2,2]时,g（x）=f（x）-kx是单调函数,求实数k的取值范围
高一数学函数与集合的题
已知二次函数f(x)=ax^2+bx+1(a＞0)
(1)若f(-1)=0,且对任意实数x均有f（x）≥0,求f（x）的表达式；
(2)在(1)的条件下,当x∈[-2,2]时,g（x）=f（x）-kx是单调函数,求实数k的取值范围
高一数学函数与集合的题已知二次函数f(x)=ax^2+bx+1(a＞0)(1)若f(-1)=0,且对任意实数x均有f（x）≥0,求f（x）的表达式；(2)在(1)的条件下,当x∈[-2,2]时,g（x）=f（x）-kx是单调函数,求实数k的取值范围
(1)、∵f(-1)=a-b+1=0,∴a=b-1.
∴f(x)=(b-1)x＾2+bx+1≥0
∴△=b＾2-4(b-1)=0
得b=2 a=1
∴f(x)=x＾2+2x+1
(2)、g(x)=f(x)-kx=x＾2+(2-k)x+1为二次函数,存在两个不同的单调区间
∴需要考虑对称轴与[-2,2]的关系
对称轴-b/2a=(k-2)/2
若[-2,2]在对称轴左边,则(k-2)/2≥2；
若[-2,2]在对称轴右边,则(k-2)/2≤-2.
∴k≥6或k≤-2
(1)
f(-1)=0 得b=a+1……①
f（x）≥0得(4a-b^2)/4a≥0……②
将②带入①得(a-1)^2≤0
所以a=1,b=2
f(x)=x^2+2x+1
(2)
g(x)=x^2+(2-k)x+1
考查对称轴x=(k-2)/2
要函数为单调函数，则
(k-2)/2≥2或者(k-2)/2≤-2
解得k≥6或者k≤-2
(1)f(-1)=a-b+1=0
则a+1=b
因为f(x)≥0
所以-b/2a=-1(对称轴为x=-1)
所以b=2a
即a=1,b=2
所以f(x)=x^2+2x+1
(2)因为g（x）=f（x）-kx是单调函数，
g(-2)×g(2)＜0
即[f(-2)+2k]×[f(2)-2k]＜0
(4-4+1+2k)(4+4+1-2k)＜0
（1+2k）(9-2k)＜0
-1/2＜k＜9/2