设f(x)在[a,b]二阶可导,f'(x)>0,f''(x)>0,证明:(b-a)f(a)b)f(x)dx

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/01 00:00:47

设f(x)在[a,b]二阶可导,f'(x)>0,f''(x)>0,证明:(b-a)f(a)b)f(x)dx
设f(x)在[a,b]二阶可导,f'(x)>0,f''(x)>0,证明:(b-a)f(a)<∫(a->b)f(x)dx<(b-a)[f(a)-f(b)]/2

设f(x)在[a,b]二阶可导,f'(x)>0,f''(x)>0,证明:(b-a)f(a)b)f(x)dx
证明:(注意:你的题目打错了)
由积分中值定理
∫(a→b)f(x)dx=(b-a)f(ξ) a<ξ又f(x)在[a,b]上二阶可导且f'(x)>0则
f(a)两边同乘以b-a得
(b-a)f(a)<(b-a)f(ξ) a<ξ又 f''(x)>0
∴ f(x)在[a,b]上为严格上凹函数
∴ f(ξ)<[f(a)+f(b)]/2 a<ξ从而
(b-a)f(ξ)<(b-a)[f(a)+f(b)]/2 a<ξ由①②③得
(b-a)f(a)<∫(a→b)f(x)dx)<(b-a)[f(a)+f(b)]/2