作业帮已知非负实数a,b,c满足ab+bc+ac=1,求f（x,y,z）=1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)d的最小值.拜托了.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 01:41:01
已知非负实数a,b,c满足ab+bc+ac=1,求f（x,y,z）=1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)d的最小值.拜托了.
已知非负实数a,b,c满足ab+bc+ac=1,求f（x,y,z）=1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)d的最小值.拜托了.
已知非负实数a,b,c满足ab+bc+ac=1,求f（x,y,z）=1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)d的最小值.拜托了.
设a≤b≤c,令f(a,b,c)=1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a)
则 f(0,a+b,1/(a+b))=1/(a+b) + 1/[(a+b) + 1/(a+b)] + a+b
那么f(a,b,c)-f(0,a+b,1/(a+b))=1/(a+c) + 1/(b+c) - (a+b) - 1/[(a+b) + 1/(a+b)] (1)
又因为ab+bc+ca=1,所以c=(1-ab)/(a+b) (2)
把(2)代入(1)得
f(a,b,c)-f(0,a+b,1/(a+b))=(a+b)/(a^2+1) + (a+b)/(b^2+1) -(a+b)-(a+b)/[(a+b)^2+1]
=(a+b)[1/(a^2+1) + 1/(b^2+1) -1- 1/((a+b)^2+1)]
=(a+b)[2ab-2a^2b^2-a^2b^2(a+b)^2] (全部通分可得)
=(a+b)[2ab(1-ab)-a^2b^2(a+b)^2]
=(a+b)[2ab(a+b)c-a^2b^2(a+b)^2]
因为1-ab=ac+bc=(a+b)c
=(a+b)ab(a+b)[2c-ab(a+b)]
=ab(a+b)^2[2c-ab(a+b)]
0≤a≤b≤c≤1
所以0≤a+b≤2,ab≤ac≤c(因为a≤1),从而ab≤c
所以ab(a+b)≤2c
所以2c-ab(a+b)≥0
从而f(a,b,c)-f(0,a+b,1/(a+b))≥0
所以f(a,b,c)≥f(0,a+b,1/(a+b))
而f(0,a+b,1/(a+b))=1/(a+b) + 1/[(a+b) + 1/(a+b)] + a+b
=[1+(a+b)^2]/(a+b) + (a+b)/[1+(a+b)^2]
[1+(a+b)^2]/(a+b)=1/(a+b) + (a+b)≥2
而f(x)=x + 1/x在[√2,+∞ )上单调递增
所以f(0,a+b,1/(a+b))=[1+(a+b)^2]/(a+b) + (a+b)/[1+(a+b)^2]≥2 + 1/2=5/2
(把上面的[1+(a+b)^2]/(a+b)当作f(x)中的x即可)
所以f(a,b,c)≥f(0,a+b,1/(a+b))≥5/2