作业帮证明不等式大小已知a,b,c∈R+,证明一下式子.(ab+ac+bc+c²)≥16abc.和2（a³+b³+c³)≥a²(b+c)+b²(a+c)+c²(a+b).
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 00:34:27
证明不等式大小已知a,b,c∈R+,证明一下式子.(ab+ac+bc+c²)≥16abc.和2（a³+b³+c³)≥a²(b+c)+b²(a+c)+c²(a+b).
证明不等式大小
已知a,b,c∈R+,证明一下式子.(ab+ac+bc+c²)≥16abc.和2（a³+b³+c³)≥a²(b+c)+b²(a+c)+c²(a+b).
证明不等式大小已知a,b,c∈R+,证明一下式子.(ab+ac+bc+c²)≥16abc.和2（a³+b³+c³)≥a²(b+c)+b²(a+c)+c²(a+b).
(1)(ab+ac+bc+c²)≥16abc
这个不等式不成立,取a=b=c=1,则左边=4,右边=16
不成立.
而成立的应该是(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c^2)>=16abc
因为由均值不等式可得ab+a+b+1>=4*四次根号(a^2b^2)
ab+ac+bc+c^2>=4*四次根号(a^2b^2c^4)
以上两式相乘可得(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c^2)>=16*四次根号(a^4b^4c^4)=16abc
因此(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c^2)>=16abc成立.
(2)2(a^3+b^3+c^3)>=a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)
证明,由均值不等式可得：2(a^3+b^3+c^3)=a^3+b^3+c^3+(a^3+b^3+c^3)>=a^3+b^3+c^3+3abc
于是我们只要证明：a^3+b^3+c^3+3abc>=a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)即可
上式等价于：
a^3+b^3+c^3-(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2)+3abc>=0
事实上上式显然成立,上式就是著名的Schur不等式.一般情形的Schur不等式如下：
a^r(a-b)(a-c)+b^r(b-c)(b-a)+c^r(c-a)(c-b)>=0
其中r∈R且a,b,c>=0
本题是当r=1的情形.
这里就以本题情形证明一下a^3+b^3+c^3-(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2)+3abc>=0成立.
因为a^3+b^3+c^3-(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2)+3abc=a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)
由对称性,不妨设a>=b>=c>=0
则b-c>=0,a-b>=0,a>=b>=0,于是c(c-a)(c-b)>=0
则a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)>=a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)=a(a-b)(a-c)-b(b-c)(a-b)>=b(a-b)(a-c)-b(b-c)(a-b)=b(a-b)^2>=0
显然成立.
于是当r=1时Schur不等式成立.则原不等式得证.