在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,且PA=AB=2,PC与底面所成的角为arctan根号5/5,M是PD的中点.求异面直线PB和CM所成的角的大小

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/06 18:48:49

在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,且PA=AB=2,PC与底面所成的角为arctan根号5/5,M是PD的中点.求异面直线PB和CM所成的角的大小
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,且PA=AB=2,PC与底面所成的角为arctan根号5/5,M是PD的中点.
求异面直线PB和CM所成的角的大小

在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,且PA=AB=2,PC与底面所成的角为arctan根号5/5,M是PD的中点.求异面直线PB和CM所成的角的大小
你画一个平行四边形ABCD当做矩形.把A写在左上方,B写在左下方.右下为C.在A处里一个旗杆叫做AP.对角线AC就是PC在底面的射影.设AC中点为O.连结OM.则OM∥＝½PB＝√2.
角OMC即是PB与CM所成的角.PC与地面的角就是角PCA.
下面我们进行数字计算.
∵tan∠PCA＝√5／5,PA＝2,∴AC＝2√5.OC＝√5.
在三角形OMC中利用余弦定理求角∠CMO,还需要求出边CM.
由三垂线定理∵CD⊥AD,∴CD⊥PD,∴三角形PDC是直角三角形,
∴斜边上的中线CM＝½PC＝√6.
整理一下,三角形OMC的三边：OM＝√2,OC＝√5,MC＝√6.
∴cos∠OMC＝﹙2+6-5﹚÷﹙2×√2×√6﹚＝√3／8.
异面直线PB与CM所成的角为arc cos ﹙√3／8﹚.

连接AC、AM。可在侧面△PDC的基础上做四边形PDCO，其中PD∥=OC，取OC中点N，连接PN、BN
易知MC∥PN，所以∠BPN即为所求。
由PA⊥面ABCD得PA⊥AB
在Rt△PAC中，PA/AC=根号5/5，PA=2，∴AC=2*根号5
AD=4，在Rt△PAD中，DM=1/2PC=根号5
∴PN=MC=根号21（Rt△DMC）
PB=2...

全部展开

收起