已知正方体ABCD-A1B1C1D1,O是底面ABCD对角线的交点 证明A1C⊥AB1

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 13:22:36

已知正方体ABCD-A1B1C1D1,O是底面ABCD对角线的交点 证明A1C⊥AB1
已知正方体ABCD-A1B1C1D1,O是底面ABCD对角线的交点 证明A1C⊥AB1

已知正方体ABCD-A1B1C1D1,O是底面ABCD对角线的交点 证明A1C⊥AB1
∵ABCD-A1B1C1D1是正方体
∴BC⊥平面ABB1A1
∵AB1在平面ABB1A1内
∴AB1⊥BC
因为ABB1A1是正方形
∴AB1⊥A1B
又A1B∩BC=B
∴AB1⊥平面A1BC
∵A1C在平面A1BC内
∴A1C⊥AB1

A1B⊥AB1﹙∵AA1B1B是正方形﹚ AB1⊥BC ﹙∵BC⊥AA1B1B﹚∴AB1⊥A1BC AB1⊥A1C

这道题有两种方法可以证得垂直。
一：用几何证法，前面的知道好友已经给出。
二：用向量法证。由于刚好是正方体这种特殊图形，建议利用空间直角坐标系，以A为原点建立空间直角坐标系。（我比较推荐用这种方法）AD为X轴，AB为Y轴，AA1为Z轴
则：
A（0,0,0），A1（0,0,1），C（1,1,0），B1（0,1,1）
所以，向量A1C=（1,1,-1），AB1...

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这道题有两种方法可以证得垂直。
一：用几何证法，前面的知道好友已经给出。
二：用向量法证。由于刚好是正方体这种特殊图形，建议利用空间直角坐标系，以A为原点建立空间直角坐标系。（我比较推荐用这种方法）AD为X轴，AB为Y轴，AA1为Z轴
则：
A（0,0,0），A1（0,0,1），C（1,1,0），B1（0,1,1）
所以，向量A1C=（1,1,-1），AB1=(0,1,1)
所以，A1C*AB1=1*0+1*1+（-1）*1=0
所以，向量A1C与向量AB1垂直，所以两向量所在直线互相垂直。
即A1C⊥AB1

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