定义在R上的单调函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),且f(1)=2（1）求f(0)的值（2）求证f(-x)=-f(x) （3)若f(kx)+f(x-x^2-2)＜0对一切x∈R恒成立,求实数k的取值范围

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/30 20:12:29

定义在R上的单调函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),且f(1)=2（1）求f(0)的值（2）求证f(-x)=-f(x) （3)若f(kx)+f(x-x^2-2)＜0对一切x∈R恒成立,求实数k的取值范围
定义在R上的单调函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),且f(1)=2
（1）求f(0)的值
（2）求证f(-x)=-f(x)
（3)若f(kx)+f(x-x^2-2)＜0对一切x∈R恒成立,求实数k的取值范围

定义在R上的单调函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),且f(1)=2（1）求f(0)的值（2）求证f(-x)=-f(x) （3)若f(kx)+f(x-x^2-2)＜0对一切x∈R恒成立,求实数k的取值范围
(1)f(x+y)=f(x)+f(y),令x=y=0
f(0+0)=f(0)+f(0)
f(0)=0
（2）令x=x,y=-x
f(x-x)=f(x)+f(-x)
f(0)=f(x)+f(-x)
f(x)=-f(-x)
(3)由（2）知,函数f(x)为奇函数,又因为f(0)=0,f(1)=2>0,可知当x>0,f(x)>0当x

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（2）令x=x,y=-x
f(x-x)=f(x)+f(-x)
f(0)=f(x)+f(-x)
f(x)=-f(-x)
(3)由（2）知，函数f(x)为奇函数，又因为f(0)=0,f(1)=2>0,可知当x>0,f(x)>0当x<0,f(x)<0
f(kx)+f(x-x^2-2)=f(kx+x-x^2-2)<0
所以kx+x-x^2-2<0
整理得x^2-(k+1)x+2>0
可知方程对应的抛物线开口向上，因此若要x∈R恒成立，即△<0
△=b^2-4ac=(1+k)^2-8<0
即(1+k)^2<8
解得-1-2√2

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定义在R上的单调函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),且f(1)=2（1）求f(0)的值 （2）求证f(-x)=-f(x) （3)若f(kx)+f(x-x^2-2)＜0对一切x∈R恒成立,求实数k的取值范围

定义在R上的单调函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),且f(1)=2（1）求f(0)的值（2）求证f(-x)=-f(x) （3)若f(kx)+f(x-x^2-2)＜0对一切x∈R恒成立,求实数k的取值范围