作业帮已知集合M={x∣f(x)-x=0,x∈R}与集合N={x∣f[f(x)]-x=0,x∈R}其中f(x)是一个二次项系数系数为1的二次函数（1）判断M与N得关系 （2）若M是单元素集合，求证M=N
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 04:42:07
已知集合M={x∣f(x)-x=0,x∈R}与集合N={x∣f[f(x)]-x=0,x∈R}其中f(x)是一个二次项系数系数为1的二次函数（1）判断M与N得关系 （2）若M是单元素集合，求证M=N
已知集合M={x∣f(x)-x=0,x∈R}与集合N={x∣f[f(x)]-x=0,x∈R}其中f(x)是一个二次项系数系数为1的二次函数
（1）判断M与N得关系
（2）若M是单元素集合，求证M=N
已知集合M={x∣f(x)-x=0,x∈R}与集合N={x∣f[f(x)]-x=0,x∈R}其中f(x)是一个二次项系数系数为1的二次函数（1）判断M与N得关系 （2）若M是单元素集合，求证M=N
（1）
不妨设 f(x) = x^2+bx+c;
在 M 中,f(x) = x^2+bx+c = x ……（1）;
再看 N：f[f(x)] = (x^2+bx+c)^2 + b*(x^2+bx+c) + c …… （2）
假设 x ∈ M ,则 （2）式可化为：f[f(x)] = x^2+bx+c = x
即 x ∈ N ,所以 M ⊆ N.
但是反过来是不成立的,这很显然,因为 N 相当于是解一个 一元四次方程,可能有四个不同的解,而 M 再多只有两个解.
（2） 用反证法：
假设有 N 还存在至少另外一个元素满足条件,
不妨设 N = { x1,x2 },M={ x1 }.
( 注：下面的符号 != 表示 “不等于”）
对于 f[f(x)] - x = (x^2+bx+c)^2 + b*(x^2+bx+c) + c - x = 0,
因为 f(x2) = t != x2 ,即 f[f(x2)] - x2 = t^2 + b*t + c - x2 = 0 成立.
对于 f(t) = t^2 + b*t + c,由 M 是单元素集合可知,t = x2 必然成立,这与假设矛盾,故有 M=N.
f(x) = x^2+bx+c;
在 M 中， f(x) = x^2+bx+c = x ……（1）;
再看 N： f[f(x)] = (x^2+bx+c)^2 + b*(x^2+bx+c) + c …… （2）
假设 x ∈ M , 则 （2）式可化为：f[f(x)] = x^2+bx+c = x
即 x ∈ N ，所以 M ⊆ ...
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f(x) = x^2+bx+c;
在 M 中， f(x) = x^2+bx+c = x ……（1）;
再看 N： f[f(x)] = (x^2+bx+c)^2 + b*(x^2+bx+c) + c …… （2）
假设 x ∈ M , 则 （2）式可化为：f[f(x)] = x^2+bx+c = x
即 x ∈ N ，所以 M ⊆ N。
但是反过来是不成立的，这很显然，因为 N 相当于是解一个 一元四次方程，可能有四个不同的解，而 M 再多只有两个解。
收起
(1)M是N的子集；
因为若x属于M,那么f(x)=x,从而f(f(x))=f(x)=x, 也就是x属于N.
这就证明了M是N的子集。