已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,四个顶点的坐标分别为O（0,0）,A（10,0）,B（8,2 ）,C（0,2 ）,点T在线段OA上（不与线段端点重合）,将纸片折叠,使点A落在射线AB上（记

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/01 09:05:20

已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,四个顶点的坐标分别为O（0,0）,A（10,0）,B（8,2 ）,C（0,2 ）,点T在线段OA上（不与线段端点重合）,将纸片折叠,使点A落在射线AB上（记
已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,四个顶点的坐标分别为O（0,0）,A（10,0）,B（8,2 ）,C（0,2 ）,点T在线段OA上（不与线段端点重合）,将纸片折叠,使点A落在射线AB上（记为点A′）,折痕经过点T,折痕TP与射线AB交于点P,设点T的横坐标为t,折叠后纸片重叠部分（图中的阴影部分）的面积为S．
（1）求∠OAB的度数,并求当点A′在线段AB上时,S关于t的函数关系式；
（2）当纸片重叠部分的图形是四边形时,求t的取值范围；
（3）S存在最大值吗?若存在,求出这个最大值,并求此时t的值；若不存在,请说明理由．

已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,四个顶点的坐标分别为O（0,0）,A（10,0）,B（8,2 ）,C（0,2 ）,点T在线段OA上（不与线段端点重合）,将纸片折叠,使点A落在射线AB上（记
（1）过点B作X轴的垂线,则垂线段长为2,交点到点A的距离也为2,故∠OAB=45°
当点A′在线段AB上时,折叠后纸片重叠部分的面积即为直角三角形AA′T面积的一半,相当于对折题目,S=1/2（10-t）² (8≤ t＜10)
（2）由第一题可知,垂线经过AB线段中点往右下平移时,重影面积为三角形,故当纸片重叠部分的图形是四边形时,作AB的垂线,与四边形OABC截得的图形为四边形,故t＜8,当此垂线段向左上平移时,经过点B时,此时重叠部分是为三角形了,此时求得t=6,故应该t＞6,即6＜t＜8,重叠部分为四边形
（3）根据（1）和（2）可知,当重叠部分为三角形时,最大面积为S=2,
当重叠部分为四边形时,面积分割法S=1/2(10-t)²-1/4(10-t)²-1/2(8-t)²
化简S=-(t/2-3)²+2 当t=6时 S最大为2（假设能取到最大值）
由此得出S存在最大值为2

A′在线段AB上时，S关于t的函数关系式；
（2）当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t

(1) ∵A，B两点的坐标分别是A(10，0)和B(8， )，
∴ ，
∴
当点A´在线段AB上时，∵ ，TA=TA´，
∴△A´TA是等边三角形，且，
∴ ，，
∴ ，
当A´与B重合时，AT=AB...

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(1) ∵A，B两点的坐标分别是A(10，0)和B(8， )，
∴ ，
∴
当点A´在线段AB上时，∵ ，TA=TA´，
∴△A´TA是等边三角形，且，
∴ ，，
∴ ，
当A´与B重合时，AT=AB= ，
所以此时。
(2)当点A´在线段AB的延长线，且点P在线段AB(不与B重合)上时，
纸片重叠部分的图形是四边形(如图(1)，其中E是TA´与CB的交点)，
当点P与B重合时，AT=2AB=8，点T的坐标是(2，0)
又由(1)中求得当A´与B重合时，T的坐标是(6，0)
所以当纸片重叠部分的图形是四边形时，。
(3)S存在最大值
○1当时，，
在对称轴t=10的左边，S的值随着t的增大而减小，
∴当t=6时，S的值最大是。
○2当时，由图○1，重叠部分的面积
∵△A´EB的高是，
∴

当t=2时，S的值最大是；
○3当，即当点A´和点P都在线段AB的延长线是(如图○2，其中E是TA´与CB的交点，F是TP与CB的交点)，
∵ ，四边形ETAB是等腰形，∴EF=ET=AB=4，
∴
综上所述，S的最大值是，此时t的值是。

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