若x>0,Y>0,且1/x+4/y=1,则x+y的最小值

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/28 22:45:46

若x>0,Y>0,且1/x+4/y=1,则x+y的最小值
若x>0,Y>0,且1/x+4/y=1,则x+y的最小值

若x>0,Y>0,且1/x+4/y=1,则x+y的最小值
1/x+4/y=1
4/y=1-1/x=(x-1)/x
y=4x/(x-1)
=[4(x-1)+4]/(x-1)
=4+4/(x-1)
y=4x/(x-1)>0 x>1
x+y=4+x+4/(x-1)
=4+(x^2-x+4)/(x-1)
=5+(x-1)+4/(x-1)
当(x-1)=4/(x-1)时,x+y取得最小值.
此时,(x-1)^2=4 x=3
(x+y)min=5+2+2=9

x+y
=(x+y)(1/x+4/y)
=1+4x/y+y/x+4
>=2√(4x/y)*(y/x)+5 (当且仅当4x/y=y/x取到等号)
=9