作业帮RT△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,D为AB的中点,E为BC上一点,DE⊥AB,F在ED的延长线上,AF的垂直平分线交EC于点G.求BF=FG.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/27 16:48:11
RT△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,D为AB的中点,E为BC上一点,DE⊥AB,F在ED的延长线上,AF的垂直平分线交EC于点G.求BF=FG.
RT△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,D为AB的中点,E为BC上一点,DE⊥AB,F在ED的延长线上,AF的垂直平分线交EC于点G.求BF=FG.
RT△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,D为AB的中点,E为BC上一点,DE⊥AB,F在ED的延长线上,AF的垂直平分线交EC于点G.求BF=FG.
楼主的辅助线很不错的,设GM⊥EF垂足为点M
∵EF垂直平分AB
∴AE＝BE
∴∠EAB＝∠B＝30°
∴∠AEG＝∠EAB＋∠B＝60°＝∠BED＝∠GEM
∴GH＝GM(角平分线上的点到角两边的距离相等)
∵AG＝FG
∴Rt△FGM≌Rt△AGH
∴∠EFG＝∠EAG
∵∠BGF＝∠BEF－∠EFG＝60°－∠EFG＝60°－∠EAG
∠AGC＝90°－∠CAG＝90°－(∠CAE－∠EAG)＝90°－(30°－∠EAG)＝60°＋∠EAG
∴∠AGF＝180°－(∠BGF＋∠AGC)＝180°－(60°－∠EAG＋60°＋∠EAG)＝60°
∵AG＝FG
∴△AFG是等边三角形
∴FG＝AF＝BF
如果学了四点共圆就更简单了,只要证得∠EFG＝∠EAG就可得到A、F、E、G四点共圆
∴∠AGF＝∠AEF＝60°
∴△AFG是等边三角形
∴FG＝AF＝BF
首先 D为AB的中点，E为BC上一点，DE⊥AB，F在ED的延长线上表示DF为AB中垂线，必有BF=AF
再由那条过G的AF中垂线易知道FG=AG
综上，欲证明BF=FG即证AF=AG
要得到AF=AG,只需证明在等腰三角形AFG中有一角为60度怎样证明三角形FGA是等边三角形？
能不能给我完整的证明过程。。。谢谢！！！！！！！！！！！！AGC和AFD全...
全部展开
首先 D为AB的中点，E为BC上一点，DE⊥AB，F在ED的延长线上表示DF为AB中垂线，必有BF=AF
再由那条过G的AF中垂线易知道FG=AG
综上，欲证明BF=FG即证AF=AG
要得到AF=AG,只需证明在等腰三角形AFG中有一角为60度
收起
据题设，∠BAC=60°,AC=AB/2=AD,连接CD则⊿ACD是等边三角形。 记M是AF的中点（MG是AF的垂直平分线），取AD的中点N，过M、N作直线, 由三角形的中连线定理知MN∥FD,∵FD⊥AB,∴MN⊥AB，直线MN是AD的垂直平分线。 ∵⊿ACD是等边三角形，∴直线MN必定通过C点，则CN平分∠ACD，∠ACM=30°。 ∵∠AMG=90°,∠ACG=90°,∴AMGC是圆内接四边形，∠AGM=∠ACM=30°， ∵MG是AF的垂直平分线，∴∠AGF=30°+30°=60°,⊿AGF是等边三角形，AF=FG, ∵FE是AB的垂直平分线∴BF=AF=FG。