f(x)+2f'(1)-ln(x+1)=1 (1)求y=f(x)表达式 (2)若x>0,证明f(x)>2x/x+2

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/30 06:34:12

f(x)+2f'(1)-ln(x+1)=1 (1)求y=f(x)表达式 (2)若x>0,证明f(x)>2x/x+2
f(x)+2f'(1)-ln(x+1)=1 (1)求y=f(x)表达式 (2)若x>0,证明f(x)>2x/x+2

f(x)+2f'(1)-ln(x+1)=1 (1)求y=f(x)表达式 (2)若x>0,证明f(x)>2x/x+2
(1)对方程两边同时求导,得
f'(x)+0-1/(x+1)=0

f'(x)=1/(x+1)…………①
不定积分,得
f(x)=ln(x+1)+C…………②
而由①可得,f'(1)=1/2…………③
将①②③代入原方程,则
1n(x+1)+C+2×(1/2)-ln(x+1)=1
解得C=0
所以,f(x)=ln(x+1);
(2)
设g(x)=f(x)-2x/(x+2)
=ln(x+1)-2(x+2)/(x+2)+4/(x+2)
=ln(x+1)+4/(x+2)-2
求导,得
g‘(x)=1/(x+1)-4/(x+2)²
=x²/[(x+1)(x+2)²]
可见,x>0时,g'(x)>0,
即g(x)递增,
所以g(x)的最小值大于g(0)=0,
即对于任意x>0,f(x)>2x/(x+2)成立.