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2004年全国高中数学联赛试卷
第一试
一．选择题(本题满分36分,每小题6分)
1．设锐角使关于x的方程x2+4xcos+cos=0有重根,则的弧度数为 ( )
A．6 B．12或512 C．6或512 D．12
2．已知M={(x,y)|x2+2y2=3},N={(x,y)|y=mx+b}．若对于所有的m∈R,均有M∩N,则b的取值范围是 ( )
A．[－62,62] B．(－62,62) C．(－233,233] D．[－233,233]
3．不等式log2x－1+12log12 x3+2>0的解集为
A．[2,3) B．(2,3] C．[2,4) D．(2,4]
4．设点O在ABC的内部,且有→OA+2→OB+3→OC=→0,则ABC的面积与AOC的面积的比为( )
A．2 B．32 C．3 D．53
5．设三位数n=¯¯¯abc,若以a,b,c为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数n有( )
A．45个 B．81个 C．165个 D．216个
6．顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,A是底面圆周上的点,B是底面圆内的点,O为底面圆圆心,AB⊥OB,垂足为B,OH⊥PB,垂足为H,且PA=4,C为PA的中点,则当三棱锥O－HPC的体积最大时,OB的长为 ( )
A．53 B．253 C．63 D．263
二．填空题(本题满分54分,每小题9分)
7．在平面直角坐标系xOy中,函数f(x)=asinax+cosax(a>0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数g(x)= a2+1的图像所围成的封闭图形的面积是 ；
8．设函数f：R→R,满足f(0)=1,且对任意x,y∈R,都有f(xy+1)=f(x)f(y)－f(y)－x+2,则f(x)= ；
9．如图,正方体ABCD－A1B1C1D1中,二面角A－BD1—A1的度数是 ；
10．设p是给定的奇质数,正整数k使得k2－pk也是一个正整数,则k= ；
11．已知数列a0,a1,a2,…,an,…满足关系式(3－an+1)(6+an)=18,且a0=3,则n∑i=01ai的值是 ；
12．在平面直角坐标系xOy中,给定两点M(－1,2)和N(1,4),点P在x轴上移动,当∠MPN取最大值时,点P的横坐标为 ；
三．解答题(本题满分60分,每小题20分)
13．一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次,如果这n次抛掷所出现的点数的和大于2n,则算过关．问：
⑴ 某人在这项游戏中最多能过几关?
⑵ 他连过前三关的概率是多少?
14．在平面直角坐标系xOy中,给定三点A(0,43),B(－1,0),C(1,0),点P到直线BC的距离是该点到直线AB、AC距离的等比中项．
⑴ 求点P的轨迹方程；
⑵ 若直线L经过ABC的内心(设为D),且与P点轨迹恰好有3个公共点,求L的斜率k的取值范围．
15．已知,是方程4x2－4tx－1=0(t∈R)的两个不等实根,函数f(x)=2x－tx2+1的定义域为[,]．
⑴ 求g(t)=maxf(x)－minf(x)；
⑵ 证明：对于ui∈(0,2)(i=1,2,3),若sinu1+sinu2+sinu3=1,则1g(tanu1)+1g(tanu2)+1g(tanu3)an+1>4,n∈N*；
⑵ 证明有n0∈N*,使得对∀n>n0,都有b2b1+b3b2+…+bnbn－1+bn+1bn2,第二关时掷2次的点数和>4,第三关时掷3次的点数和>8．
第一关过关的概率=46=23；
第二关过关的基本事件有62种,不能过关的基本事件有为不等式x+y≤4的正整数解的个数,有C24个 (亦可枚举计数：1+1,1+2,1+3,2+1,2+2,3+1)计6种,过关的概率=1－662=56；
第三关的基本事件有63种,不能过关的基本事件为方程x+y+z≤8的正整数解的总数,可连写8个1,从8个空档中选3个空档的方法为C38=876321=56种,不能过关的概率=5663=727,能过关的概率=2027；
∴连过三关的概率=23562027=100243．
14．在平面直角坐标系xOy中,给定三点A(0,43),B(－1,0),C(1,0),点P到直线BC的距离是该点到直线AB、AC距离的等比中项．
⑴ 求点P的轨迹方程；
⑵ 若直线L经过ABC的内心(设为D),且与P点轨迹恰好有3个公共点,求L的斜率k的取值范围．
⑴ 设点P的坐标为(x,y),
AB方程：x－1+3y4=1,4x－3y+4=0, ①
BC方程：y=0, ②
AC方程：4x+3y－4=0, ③
∴ 25|y|2=|(4x－3y+4)(4x+3y－4)|,
25y2+16x2－(3y－4)2=0,16x2+16y2+24y－16=0,
2x2+2y2+3y－2=0．
或25y2－16x2+(3y－4)2=0,16x2－34y2+24y－16=0,
8x2－17y2+12y－8=0．
∴ 所求轨迹为圆：2x2+2y2+3y－2=0, ④
或双曲线：8x2－17y2+12y－8=0． ⑤
但应去掉点(－1,0)与(1,0)．
⑵ ABC的内心D(0,12)：经过D的直线为x=0或y=kx+12． ⑥
(a) 直线x=0与圆④有两个交点,与双曲线⑤没有交点；
(b) k=0时,直线y=12与圆④切于点(0,12),与双曲线⑤交于(±582,12),即k=0满足要求．
(c) k=±12时,直线⑥与圆只有1个公共点,与双曲线⑤也至多有1个公共点,故舍去．
(c) k0时,k12时,直线⑥与圆有2个公共点,以⑥代入⑤得：(8－17k2)x2－5kx－254=0．
当8－17k2=0或(5k)2－25(8－17k2)=0,即得k=±23417与k=±22．
∴ 所求k值的取值范围为{0,±23417,±22}．
15．已知,是方程4x2－4tx－1=0(t∈R)的两个不等实根,函数f(x)= 2x－tx2+1的定义域为[,]．
⑴ 求g(t)=maxf(x)－minf(x)；
⑵ 证明：对于ui∈(0,2)(i=1,2,3),若sinu1+sinu2+sinu3=1,则1g(tanu1)+1g(tanu2)+1g(tanu3)an+1>4,n∈N*；
⑵ 证明有n0∈N*,使得对∀n>n0,都有b2b1+b3b2+…+bnbn－1+bn+1bn0)．
∴ 00+2+22=4．
⑵ 即证n∑k=1(1－bk+1bk)>2004．
1－bk+1bk=bk－bk+1bk=1+(1k)2－1+(1k+1)21+(1k)2－1=k2((1k)2－(1k+1)2)1+(1k)2+11+(1k)2+1+(1k+1)2
≥2k+1(k+1)21+(1k)2+121+(1k)2>2k+1(k+1)212>1k+2．
∴n∑k=1(1－bk+1bk)>n∑k=11k+2>(13+14)+(15+16+17+18)+…+>12+12+12+…．
只要n足够大,就有n∑k=1(1－bk+1bk)>2004成立．
三．(本题满分50分)对于整数n≥4,求出最小的整数f(n),使得对于任何正整数m,集合{m,m+1,…,m+n－1}的任一个f(n)元子集中,均至少有3个两两互素的元素．
⑴ 当n≥4时,对集合M(m,n)={m,m+1,…,m+n－1},
当m为奇数时,m,m+1,m+2互质,当m为偶数时,m+1,m+2,m+3互质．即M的子集M中存在3个两两互质的元素,故f(n)存在且f(n)≤n． ①
取集合Tn={t|2|t或3|t,t≤n+1},则T为M(2,n)={2,3,…,n+1}的一个子集,且其中任3个数无不能两两互质．故f(n)≥card(T)+1．
但card(T)=[n+12]+[n+13]－[n+16]．故f(n)≥[n+12]+[n+13]－[n+16]+1． ②
由①与②得,f(4)=4,f(5)=5．5≤f(6)≤6,6≤f(7)≤7,7≤f(8)≤8,8≤f(9)≤9．
现计算f(6),取M={m,m+1,…,m+5},若取其中任意5个数,当这5个数中有3个奇数时,这3个奇数互质；当这3个数中有3个偶数k,k+2,k+4(k0(mod 2))时,其中至多有1个被5整除,必有1个被3整除,故至少有1个不能被3与5整除,此数与另两个奇数两两互质．故f(6)=5．
而M(m,n+1)=M(m,n)∪{m+n},故f(n+1)≤f(n)+1． ③
∴ f(7)=6,f(8)=7,f(9)=8．
∴ 对于4≤n≤9,f(n)= [n+12]+[n+13]－[n+16]+1成立． ④
设对于n≤k,④成立,当n=k+1时,由于
M(m,k+1)=M(m,k－5)∪{m+k－5,m+k－4,…,m+k}．
在{m+k－5,m+k－4,…,m+k}中,能被2或3整除的数恰有4个,即使这4个数全部取出,只要在前面的M(m,k－5)中取出f(n)个数就必有3个两两互质的数．于是
当n≥4时,f(n+6)≤f(n)+4=f(n)+f(6)－1．
故f(k+1)≤f(k－5)+f(6)－1=[k+22]+[k+23]－[k+26]+1,
比较②,知对于n=k+1,命题成立．
∴对于任意n∈N*,n≥4,f(n)= [n+12]+[n+13]－[n+16]+1成立．
又可分段写出结果：
f(n)= 4k+1,(n=6k, k∈N*),4k+2,(n=6k+1,k∈N*),4k+3,(n=6k+2,k∈N*),4k+4,(n=6k+3,k∈N*),4k+4,(n=6k+4,k∈N*),4k+5,(n=6k+5,k∈N*)．

2004年全国高中数学联赛试卷
第一试
一．选择题(本题满分36分，每小题6分)
1．设锐角使关于x的方程x2+4xcos+cos=0有重根，则的弧度数为 ( )
A．6 B．12或51...

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2004年全国高中数学联赛试卷
第一试
一．选择题(本题满分36分，每小题6分)
1．设锐角使关于x的方程x2+4xcos+cos=0有重根，则的弧度数为 ( )
A．6 B．12或512 C．6或512 D．12
2．已知M={(x，y)|x2+2y2=3}，N={(x，y)|y=mx+b}．若对于所有的m∈R，均有M∩N，则b的取值范围是 ( )
A．[－62，62] B．(－62，62) C．(－233，233] D．[－233，233]
3．不等式log2x－1+12log12 x3+2>0的解集为
A．[2，3) B．(2，3] C．[2，4) D．(2，4]
4．设点O在ABC的内部，且有→OA+2→OB+3→OC=→0，则ABC的面积与AOC的面积的比为( )
A．2 B．32 C．3 D．53
5．设三位数n=¯¯¯abc，若以a，b，c为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n有( )
A．45个 B．81个 C．165个 D．216个
6．顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆圆心，AB⊥OB，垂足为B，OH⊥PB，垂足为H，且PA=4，C为PA的中点，则当三棱锥O－HPC的体积最大时，OB的长为 ( )
A．53 B．253 C．63 D．263
二．填空题(本题满分54分，每小题9分)
7．在平面直角坐标系xOy中，函数f(x)=asinax+cosax(a>0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数g(x)= a2+1的图像所围成的封闭图形的面积是 ；
8．设函数f：R→R，满足f(0)=1，且对任意x，y∈R，都有f(xy+1)=f(x)f(y)－f(y)－x+2，则f(x)= ；
9．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BD1—A1的度数是 ；
10．设p是给定的奇质数，正整数k使得k2－pk也是一个正整数，则k= ；
11．已知数列a0，a1，a2，…，an，…满足关系式(3－an+1)(6+an)=18，且a0=3，则n∑i=01ai的值是 ；
12．在平面直角坐标系xOy中，给定两点M(－1，2)和N(1，4)，点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标为 ；
三．解答题(本题满分60分，每小题20分)
13．一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数的和大于2n，则算过关．问：
⑴ 某人在这项游戏中最多能过几关？
⑵ 他连过前三关的概率是多少？
14．在平面直角坐标系xOy中，给定三点A(0，43)，B(－1，0)，C(1，0)，点P到直线BC的距离是该点到直线AB、AC距离的等比中项．
⑴ 求点P的轨迹方程；
⑵ 若直线L经过ABC的内心(设为D)，且与P点轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围．
15．已知，是方程4x2－4tx－1=0(t∈R)的两个不等实根，函数f(x)=2x－tx2+1的定义域为[，]．
⑴ 求g(t)=maxf(x)－minf(x)；
⑵ 证明：对于ui∈(0，2)(i=1，2，3)，若sinu1+sinu2+sinu3=1，则1g(tanu1)+1g(tanu2)+1g(tanu3)<364．
二试题
一．(本题满分50分)在锐角三角形ABC中，AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H，以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点，FG与AH相交于点K，已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK的长．
二．(本题满分50分)在平面直角坐标系XOY中，y轴正半轴上的点列{An}与曲线y=2x(x≥0)上的点列{Bn}满足|OAn|=|OBn|=1n，直线AnBn在x轴上的截距为an，点Bn的横坐标为bn，n∈N*．
⑴ 证明an>an+1>4，n∈N*；
⑵ 证明有n0∈N*，使得对∀n>n0，都有b2b1+b3b2+…+bnbn－1+bn+1bn三．(本题满分50分)对于整数n≥4，求出最小的整数f(n)，使得对于任何正整数m，集合{m，m+1，…，m+n－1}的任一个f(n)元子集中，均至少有3个两两互素的元素．

2004年全国高中数学联赛试卷
第一试
一．选择题(本题满分36分，每小题6分)
1．设锐角使关于x的方程x2+4xcos+cot=0有重根，则的弧度数为 ( )
A．6 B．12或512 C．6或512 D．12
由方程有重根，故14=4cos2－cot=0，
∵ 0<<2，2sin2=1，=12或512．选B．
2．已知M={(x，y)|x2+2y2=3}，N={(x，y)|y=mx+b}．若对于所有的m∈R，均有M∩N，则b的取值范围是 ( )
A．[－62，62] B．(－62，62) C．(－233，233] D．[－233，233]
点(0，b)在椭圆内或椭圆上，2b2≤3，b∈[－62，62]．选A．
3．不等式log2x－1+12log12x3+2>0的解集为
A．[2，3) B．(2，3] C．[2，4) D．(2，4]
令log2x=t≥1时，t－1>32t－2．t∈[1，2)，x∈[2，4)，选C．
4．设点O在ABC的内部，且有→OA+2→OB+3→OC=→0，则ABC的面积与AOC的面积的比为( )
A．2 B．32 C．3 D．53
如图，设AOC=S，则OC1D=3S，OB1D=OB1C1=3S，AOB=OBD=1.5S．OBC=0.5S，ABC=3S．选C．
5．设三位数n=¯¯¯abc，若以a，b，c为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n有( )
A．45个 B．81个 C．165个 D．216个
⑴等边三角形共9个；
⑵ 等腰但不等边三角形：取两个不同数码(设为a，b)，有36种取法，以小数为底时总能构成等腰三角形，而以大数为底时，b即可取156+9=165种数．选C．
6．顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆圆心，AB⊥OB，垂足为B，OH⊥PB，垂足为H，且PA=4，C为PA的中点，则当三棱锥O－HPC的体积最大时，OB的长为 ( )
A．53 B．253 C．63 D．263
AB⊥OB，PB⊥AB，AB⊥面POB，面PAB⊥面POB．
OH⊥PB，OH⊥面PAB，OH⊥HC，OH⊥PC，
又，PC⊥OC，PC⊥面OCH．PC是三棱锥P－OCH的高．PC=OC=2．
而OCH的面积在OH=HC=2时取得最大值(斜边=2的直角三角形)．
当OH=2时，由PO=22，知∠OPB=30，OB=POtan30=263．
又连线如图，由C为PA中点，故VO－PBC=12VB－AOP，
而VO－PHC∶VO－PBC=PHPB=PO2PB2(PO2=PH•PB)．
记PO=OA=22=R，∠AOB=，则
VP—AOB=16R3sincos=112R3sin2，VB－PCO=124R3sin2．
PO2PB2=R2R2+R2cos2=11+cos2=23+cos2．VO－PHC=sin23+cos2112R3．
∴ 令y=sin23+cos2，y=2cos2(3+cos2)－(－2sin2)sin2(3+cos2)2=0，得cos2=－13，cos=33，
∴ OB=263，选D．
二．填空题(本题满分54分，每小题9分)
7．在平面直角坐标系xOy中，函数f(x)=asinax+cosax(a>0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数g(x)= a2+1的图像所围成的封闭图形的面积是 ；
f(x)= a2+1sin(ax+)，周期=2a，取长为2a，宽为2a2+1的矩形，由对称性知，面积之半即为所求．故填2aa2+1．
又∫10a2+1[1－sin(ax+)]dx=a2+1a∫20(1－sint)dt=2paa2+1．
8．设函数f：R→R，满足f(0)=1，且对任意x，y∈R，都有f(xy+1)=f(x)f(y)－f(y)－x+2，则f(x)= ；
令x=y=0，得，f(1)=1－1－0+2，f(1)=2．
令y=1，得f(x+1)=2f(x)－2－x+2，即f(x+1)=2f(x)－x．①
又，f(yx+1)=f(y)f(x)－f(x)－y+2，令y=1代入，得f(x+1)=2f(x)－f(x)－1+2，即f(x+1)=f(x)+1．②
比较①、②得，f(x)=x+1．
9．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BD1—A1的度数是 ；
设AB=1，作A1M⊥BD1，AN⊥BD1，则BN•BD1=AB2，BN=D1M=NM=33．
A1M=AN=63．
∴ AA12=A1M2+MN2+NA2－2A1M•NAcos，12=23+23+13－223cos，cos=12．
=60．
10．设p是给定的奇质数，正整数k使得k2－pk也是一个正整数，则k= ；
设k2－pk=n，则(k－p2)2－n2=p24，(2k－p+2n)(2k－p－2n)=p2，k=14(p+1)2．
11．已知数列a0，a1，a2，…，an，…满足关系式(3－an+1)(6+an)=18，且a0=3，则n∑i=01ai的值是 ；
1an+1=2an+13，令bn=1an+13，得b0=23，bn=2bn－1，bn=232n．即1an=2n+1－13，n∑i=01ai=13(2n+2－n－3)．
12．在平面直角坐标系xOy中，给定两点M(－1，2)和N(1，4)，点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标为 ；
当∠MPN最大时，⊙MNP与x轴相切于点P(否则⊙MNP与x轴交于PQ，则线段PQ上的点P使∠MPN更大)．于是，延长NM交x轴于K(－3，0)，有KM•KN=KP2，KP=4．P(1，0)，(－7，0)，但(1，0)处⊙MNP的半径小，从而点P的横坐标=1．
三．解答题(本题满分60分，每小题20分)
13．一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数的和大于2n，则算过关．问：
⑴ 某人在这项游戏中最多能过几关？
⑵ 他连过前三关的概率是多少？
⑴ 设他能过n关，则第n关掷n次，至多得6n点，
由6n>2n，知，n≤4．即最多能过4关．
⑵ 要求他第一关时掷1次的点数>2，第二关时掷2次的点数和>4，第三关时掷3次的点数和>8．
第一关过关的概率=46=23；
第二关过关的基本事件有62种，不能过关的基本事件有为不等式x+y≤4的正整数解的个数，有C24个 (亦可枚举计数：1+1，1+2，1+3，2+1，2+2，3+1)计6种，过关的概率=1－662=56；
第三关的基本事件有63种，不能过关的基本事件为方程x+y+z≤8的正整数解的总数，可连写8个1，从8个空档中选3个空档的方法为C38=876321=56种，不能过关的概率=5663=727，能过关的概率=2027；
∴连过三关的概率=23562027=100243．
14．在平面直角坐标系xOy中，给定三点A(0，43)，B(－1，0)，C(1，0)，点P到直线BC的距离是该点到直线AB、AC距离的等比中项．
⑴ 求点P的轨迹方程；
⑵ 若直线L经过ABC的内心(设为D)，且与P点轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围．
⑴ 设点P的坐标为(x，y)，
AB方程：x－1+3y4=1，4x－3y+4=0， ①
BC方程：y=0， ②
AC方程：4x+3y－4=0， ③
∴ 25|y|2=|(4x－3y+4)(4x+3y－4)|，
25y2+16x2－(3y－4)2=0，16x2+16y2+24y－16=0，
2x2+2y2+3y－2=0．
或25y2－16x2+(3y－4)2=0，16x2－34y2+24y－16=0，
8x2－17y2+12y－8=0．
∴ 所求轨迹为圆：2x2+2y2+3y－2=0， ④
或双曲线：8x2－17y2+12y－8=0． ⑤
但应去掉点(－1，0)与(1，0)．
⑵ ABC的内心D(0，12)：经过D的直线为x=0或y=kx+12． ⑥
(a) 直线x=0与圆④有两个交点，与双曲线⑤没有交点；
(b) k=0时，直线y=12与圆④切于点(0，12)，与双曲线⑤交于(±582，12)，即k=0满足要求．
(c) k=±12时，直线⑥与圆只有1个公共点，与双曲线⑤也至多有1个公共点，故舍去．
(c) k0时，k12时，直线⑥与圆有2个公共点，以⑥代入⑤得：(8－17k2)x2－5kx－254=0．
当8－17k2=0或(5k)2－25(8－17k2)=0，即得k=±23417与k=±22．
∴ 所求k值的取值范围为{0，±23417，±22}．
15．已知，是方程4x2－4tx－1=0(t∈R)的两个不等实根，函数f(x)= 2x－tx2+1的定义域为[，]．
⑴ 求g(t)=maxf(x)－minf(x)；
⑵ 证明：对于ui∈(0，2)(i=1，2，3)，若sinu1+sinu2+sinu3=1，则1g(tanu1)+1g(tanu2)+1g(tanu3)<364．
⑴ +=t，=－14．故<0，>0．当x1，x2∈[，]时，
∴ f (x)= 2(x2+1)－2x(2x－t)(x2+1)2=－2(x2－xt)+2(x2+1)2．而当x∈[，]时，x2－xt<0，于是f (x)>0，即f(x)在[，]上单调增．
∴ g(t)= 2－t2+1－2－t2+1=(2－t)(2+1)－(2－t)(2+1)(2+1)(2+1)=(－)[t(+)－2+2]22+2+2+1
=t2+1(t2+52)t2+2516=8t2+1(2t2+5)16t2+25
⑵ g(tanu)= 8secu(2sec2u+3)16sec2u+9=16+24cos2u16cosu+9cos3u≥16616+9cos2u，
∴ 1g(tanu1)+1g(tanu2)+1g(tanu3)≤1166[163+9(cos2u1+cos2u2+cos2u3)]= 1166[75－9(sin2u1+sin2u2+sin2u3)]
而13(sin2u1+sin2u2+sin2u3)≥(sinu1+sinu2+sinu33)2，即9(sin2u1+sin2u2+sin2u3)≥3．
∴1g(tanu1)+1g(tanu2)+1g(tanu3)≤1166(75－3)= 364．由于等号不能同时成立，故得证．

二试题
一．(本题满分50分)在锐角三角形ABC中，AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H，以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点，FG与AH相交于点K，已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK的长．
∵ BC=25，BD=20，BE=7，
∴ CE=24，CD=15．
∵ AC•BD=CE•AB， AC=65AB， ①
∵ BD⊥AC，CE⊥AB，B、E、D、C共圆，
AC(AC－15)=AB(AB－7)，65AB(65AB－15)=AB(AB－18)，
∴ AB=25，AC=30．AE=18，AD=15．
∴ DE=12AC=15．
延长AH交BC于P， 则AP⊥BC．
∴ AP•BC=AC•BD，AP=24．
连DF，则DF⊥AB，
∵ AE=DE，DF⊥AB．AF=12AE=9．
∵ D、E、F、G共圆，∠AFG=∠ADE=∠ABC，AFG∽ABC，
∴ AKAP=AFAB，AK=92425=21625．
二．(本题满分50分)在平面直角坐标系XOY中，y轴正半轴上的点列{An}与曲线y=2x(x≥0)上的点列{Bn}满足|OAn|=|OBn|=1n，直线AnBn在x轴上的截距为an，点Bn的横坐标为bn，n∈N*．
⑴ 证明an>an+1>4，n∈N*；
⑵ 证明有n0∈N*，使得对∀n>n0，都有b2b1+b3b2+…+bnbn－1+bn+1bn⑴ 点An(0，1n)，Bn(bn，2bn)由|OAn|=|OBn|，bn2+2bn=(1n)2，bn=1+(1n)2－1(bn>0)．
∴ 0∴ 02且tn单调减．
由截距式方程知，bnan+2bn1n=1，(1－2n2bn=n2bn2)
∴ an=bn1－n2bn=bn(1+n2bn)1－2n2bn=1+n2bnn2bn=(1nbn)2+2(1nbn)=tn2+2tn=(tn+22)2－12≥(2+22)2－12=4．
且由于tn单调减，知an单调减，即an>an+1>4成立．
亦可由1n2bn=bn+2．1nbn=bn+2，得 an=bn+2+2bn+2，．
∴ 由bn递减知an递减，且an>0+2+22=4．
⑵ 即证n∑k=1(1－bk+1bk)>2004．
1－bk+1bk=bk－bk+1bk=1+(1k)2－1+(1k+1)21+(1k)2－1=k2((1k)2－(1k+1)2)1+(1k)2+11+(1k)2+1+(1k+1)2
≥2k+1(k+1)21+(1k)2+121+(1k)2>2k+1(k+1)212>1k+2．
∴n∑k=1(1－bk+1bk)>n∑k=11k+2>(13+14)+(15+16+17+18)+…+>12+12+12+…．
只要n足够大，就有n∑k=1(1－bk+1bk)>2004成立．
三．(本题满分50分)对于整数n≥4，求出最小的整数f(n)，使得对于任何正整数m，集合{m，m+1，…，m+n－1}的任一个f(n)元子集中，均至少有3个两两互素的元素．
⑴ 当n≥4时，对集合M(m，n)={m，m+1，…，m+n－1}，
当m为奇数时，m，m+1，m+2互质，当m为偶数时，m+1，m+2，m+3互质．即M的子集M中存在3个两两互质的元素，故f(n)存在且f(n)≤n． ①
取集合Tn={t|2|t或3|t，t≤n+1}，则T为M(2，n)={2，3，…，n+1}的一个子集，且其中任3个数无不能两两互质．故f(n)≥card(T)+1．
但card(T)=[n+12]+[n+13]－[n+16]．故f(n)≥[n+12]+[n+13]－[n+16]+1． ②
由①与②得，f(4)=4，f(5)=5．5≤f(6)≤6，6≤f(7)≤7，7≤f(8)≤8，8≤f(9)≤9．
现计算f(6)，取M={m，m+1，…，m+5}，若取其中任意5个数，当这5个数中有3个奇数时，这3个奇数互质；当这3个数中有3个偶数k，k+2，k+4(k0(mod 2))时，其中至多有1个被5整除，必有1个被3整除，故至少有1个不能被3与5整除，此数与另两个奇数两两互质．故f(6)=5．
而M(m，n+1)=M(m，n)∪{m+n}，故f(n+1)≤f(n)+1． ③
∴ f(7)=6，f(8)=7，f(9)=8．
∴ 对于4≤n≤9，f(n)= [n+12]+[n+13]－[n+16]+1成立． ④
设对于n≤k，④成立，当n=k+1时，由于
M(m，k+1)=M(m，k－5)∪{m+k－5，m+k－4，…，m+k}．
在{m+k－5，m+k－4，…，m+k}中，能被2或3整除的数恰有4个，即使这4个数全部取出，只要在前面的M(m，k－5)中取出f(n)个数就必有3个两两互质的数．于是
当n≥4时，f(n+6)≤f(n)+4=f(n)+f(6)－1．
故f(k+1)≤f(k－5)+f(6)－1=[k+22]+[k+23]－[k+26]+1，
比较②，知对于n=k+1，命题成立．
∴对于任意n∈N*，n≥4，f(n)= [n+12]+[n+13]－[n+16]+1成立．
又可分段写出结果：
f(n)= 4k+1，(n=6k， k∈N*)，4k+2，(n=6k+1，k∈N*)，4k+3，(n=6k+2，k∈N*)，4k+4，(n=6k+3，k∈N*)，4k+4，(n=6k+4，k∈N*)，4k+5，(n=6k+5，k∈N*)．

收起