作业帮函数f在某区间连续,那么它在那个区间就可积吗?函数f在某区间可积,那么它在那个区间就连续吗?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 16:27:41
函数f在某区间连续,那么它在那个区间就可积吗?函数f在某区间可积,那么它在那个区间就连续吗?
函数f在某区间连续,那么它在那个区间就可积吗?函数f在某区间可积,那么它在那个区间就连续吗?
函数f在某区间连续,那么它在那个区间就可积吗?函数f在某区间可积,那么它在那个区间就连续吗?
一、函数f在某区间连续,那么它在那个区间就可积吗?
问题有一定的复杂性：
（1）区间得看是开区间,还是闭区间,是有限区间,还是无限区间；
（2）可积性,也得看是广义的,还是狭义的.
上述的搭配,只有一个肯定的结论：
在闭区间上连续的函数一定可积.
二、函数f在某区间可积,那么它在那个区间就连续吗?
楼上回答得很清楚了.
连续必可积，可积未必连续
连续必可积
f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在区间[a，b]上可积。
f(x)在区间[a，b]上连续，f(x)在区间[a，b]上有界，满足可积条件。根据函数连续的定义，在[a，b]上的任一点x0→0时f(x)的极限为f(x0)，即介于曲线y＝f(x)、直线x＝a和x＝b 、x轴之间各部分的面积代数和为定值，由定积分的几何意义得知f(x)在...
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连续必可积，可积未必连续
连续必可积
f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在区间[a，b]上可积。
f(x)在区间[a，b]上连续，f(x)在区间[a，b]上有界，满足可积条件。根据函数连续的定义，在[a，b]上的任一点x0→0时f(x)的极限为f(x0)，即介于曲线y＝f(x)、直线x＝a和x＝b 、x轴之间各部分的面积代数和为定值，由定积分的几何意义得知f(x)在区间[a，b]上可积。
可积未必连续
f(x)在区间[a，b]上可积，则f(x)在区间[a，b]上未必连续。
若f(x)在区间[a，b] 上有界且只存在第一类间断点x1时（只存在有限个第一类间断点时类似讨论），f(x1)不存在，f(x)在区间[a，b]上不连续；而f(x)在区间[a，x1）和（x1，b]内的广义积分收敛，则f(x)在区间[a，b]上可积，即f(x)在区间[a，b]上可积，而f(x)在区间[a，b]上不连续；另一方面，f(x)在区间[a，b] 上有界且无间断点时，f(x)在区间[a，b] 上连续。因此f(x)在区间[a，b]上可积，则f(x)在区间[a，b]上未必连续。
收起
函数f在某区间连续，那么它在那个区间就一定可积；
函数f在某区间可积，那么它在那个区间不一定连续
例如：f(x): x>0,f(x)=2x+1;
x=0,f(x)=0; x<0,f(x)=2x+1
这样的分段函数在[-1,1]上可积但不连续