作业帮证明：多项式g(x)=1+x^2+x^4...+x^2n能整除f(x)=1+x^4+x^8...+x^4n的充分必要条件是n为偶数如题充分性和必要性都要证明
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 03:37:08
证明：多项式g(x)=1+x^2+x^4...+x^2n能整除f(x)=1+x^4+x^8...+x^4n的充分必要条件是n为偶数如题充分性和必要性都要证明
证明：多项式g(x)=1+x^2+x^4...+x^2n能整除f(x)=1+x^4+x^8...+x^4n的充分必要条件是n为偶数
如题
充分性和必要性都要证明
证明：多项式g(x)=1+x^2+x^4...+x^2n能整除f(x)=1+x^4+x^8...+x^4n的充分必要条件是n为偶数如题充分性和必要性都要证明
g(x)=1+x^2+x^4...+x^2n能整除f(x)=1+x^4+x^8...+x^4n
f(x)/g(x)=(1+x^4+x^8...+x^4n)/(1+x^2+x^4...+x^2n)
=[(1-x^(2n+2))/(1-x^2)]/[(1-x^(4n+4))/(1-x^4)]
=[1+x^(2n+2)]/(1+x^2) 为整式
[1+x^(2n+2)]/(1+x^2)=x^(2n)-x^(2n-2)+[1+x^(2n-2)]/(1+x^2)
所以 [1+x^(2n+2)]/(1+x^2) 为整式
《==》[1+x^(2n-2)]/(1+x^2) 为整式
《==》[1+x^(2n-6)]/(1+x^2) 为整式
……
《==》[1+x^(0+2)]/(1+x^2) 为整式
所以等价于n为偶数
说下大概过程吧。用等比数列求和公式，得g(x)=(1-x^(2n+2))/(1-x^2),
f(x)=(1-x^(4n+2))/(1-x^4)=g(x)*(1+x^(2n+2))/(1+x^2),故g(x)整除f(x)等价于(1+x^(2n+2))/(1+x^2)是整数。令t=x^2,则有（1+t^(n+1)）/(1+t),为整数的条件可这样看：1+t^(n+1)含有因式1+t，即t=-1...
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说下大概过程吧。用等比数列求和公式，得g(x)=(1-x^(2n+2))/(1-x^2),
f(x)=(1-x^(4n+2))/(1-x^4)=g(x)*(1+x^(2n+2))/(1+x^2),故g(x)整除f(x)等价于(1+x^(2n+2))/(1+x^2)是整数。令t=x^2,则有（1+t^(n+1)）/(1+t),为整数的条件可这样看：1+t^(n+1)含有因式1+t，即t=-1时1+t^(n+1)=0,从而n为偶数。上述均为等价过程。
补充一下，等价过程就是说可以正推，也可以反推，充分性和必要性同时得到了证明。楼上用的都是等价符号，也是这个道理。
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