关于三角形内心.我已经想了三天,没有办法了.请给得详细些. 这好像是一道初中竞赛题。

关于三角形内心.我已经想了三天,没有办法了.请给得详细些. 这好像是一道初中竞赛题。
关于三角形内心.
我已经想了三天,没有办法了.请给得详细些.
 
这好像是一道初中竞赛题。

关于三角形内心.我已经想了三天,没有办法了.请给得详细些. 这好像是一道初中竞赛题。

下面是正题的证明,主要方法是相似和四点共圆：

证明：
若△ABC为正三角形,命题显然成立；
否则不妨设∠ABC<60°.
设射线BI、CI与直线DE分别交于P、Q,
∵∠BAC=60°,∴∠ABC+ACB=120°.
∵I为△ABC的内心,
　∠PIQ=∠BIC=180°-(∠ABC+ACB)/2=120°,
∴∠IAB=∠IAC=∠BAC/2=30°,
∵DE垂直平分AI,
∴DA=DI,EA=EI,∠ADE=∠AED=60°,
∴AD=DI=IE=EA,四边形ADIE为菱形,
∴ID//AC,IE//AB,△IDE、△ADE为正三角形.
∴∠BIQ=∠BDQ=60°,∠CIP=∠CEP=60°,
∴B、I、D、Q四点共圆,B、I、D、Q四点共圆,
∴∠IQD=∠IBD=∠ABC/2<30°,
　∠IPE=∠ICE=∠ACB/2>30°,
　∠BQI=∠BDI=60°,∠CPI=∠CEI=60°,
∴△IBQ、△ICP为正三角形.
∴∠BQP+∠CPQ=(60°+∠ABC/2)+(60°+∠ACB/2)=180°
∴BQ//CP,∠BQP<90°,∠CPQ>90°,
分别以B、C为圆心,以BQ、CP为半径作弧
交直线DE于N、M,显然M在EP的延长线上
则∠BQN=∠BNQ=∠CPM=∠CMP
∴△BQN∽△CPM,△BQD∽△CPE,
设BQ=BI=IQ=b,CP=CI=IP=c,PM=x,EP=y,
则QN：x=b：c,QD：(bx/c+by/c)=b：c,
QN=bx/c,ND=QD=QN=b(x+y)/c-bx/c=by/c,
∵DI//EC,∴DE：(QN+ND)=IC：QI
∴DE=(bx/c+by/c)*c/b=x+y=EM
∵EI//DB,∴DE：EP=IB：PI
∴DE=y*b/c=DN
∴ND：DE：EP=BF：FG：GC
又∠BNQ=∠CMQ,∴BN//CM
根据引理BN//FD//GE//CM

题目太难,最主要的难点是：如何将三等分点用到证明中去.

解析几何可以解，但是过程超烦。以过A的高AO建立坐标系，设A(0,a),B(b,0),C(c,0)
下面可以算出AI和DE交点J坐标，然后计算D和E坐标，F和G由定比分点易得，故DF和EG可求，最后一步证kDF=kEG。思路这样，过程不写了。
我尝试用向量求解，但是由于中垂线DE不好处理，只好作罢了有没有初中几何推理法，这是初三的竞赛题。抱歉，多奥数不大了解...

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解析几何可以解，但是过程超烦。以过A的高AO建立坐标系，设A(0,a),B(b,0),C(c,0)
下面可以算出AI和DE交点J坐标，然后计算D和E坐标，F和G由定比分点易得，故DF和EG可求，最后一步证kDF=kEG。思路这样，过程不写了。
我尝试用向量求解，但是由于中垂线DE不好处理，只好作罢了

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这题好像结论有问题

以A为原点，AI为y轴正方向，建立xAy系。
设C(-a,sqrt3*a)，B(b,sqrt3*b)
L(BC):sqrt3*(a-b)x+(a+b)y-2sqrt3*ab=0
设I(0,x)，则I到BC距离为x/2。
有x/2=[(a+b)x-2sqrt3*ab]/[sqrt(3(a-b)^2+(a+b)^2] 参见点到直线距离公式
解出x。
E...

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以A为原点，AI为y轴正方向，建立xAy系。
设C(-a,sqrt3*a)，B(b,sqrt3*b)
L(BC):sqrt3*(a-b)x+(a+b)y-2sqrt3*ab=0
设I(0,x)，则I到BC距离为x/2。
有x/2=[(a+b)x-2sqrt3*ab]/[sqrt(3(a-b)^2+(a+b)^2] 参见点到直线距离公式
解出x。
E(sqrt3*x/3,x) D(-sqrt3*x/3,x)
G(-a+(a+b)/3,Y(L(BC_G))) F(-a+2(a+b)/3,Y(L(BC_F)))
然后写出EG、DF的斜率，相等。
式子太复杂了，敲不出来，就不打了。我手推过，可以写出来。

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