作业帮X,Y的密度函数知道,U,V是X,Y的线性组合,求U,V的密度函数如果知道X.Y的概率密度,知道U,V是X,Y的线性组合,求U,V的密度函数怎么求解.具体例如：X,Y都服从参数是1的指数分布,且相互独立.U=X+Y,V=X-Y,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/27 17:36:15
X,Y的密度函数知道,U,V是X,Y的线性组合,求U,V的密度函数如果知道X.Y的概率密度,知道U,V是X,Y的线性组合,求U,V的密度函数怎么求解.具体例如：X,Y都服从参数是1的指数分布,且相互独立.U=X+Y,V=X-Y,
X,Y的密度函数知道,U,V是X,Y的线性组合,求U,V的密度函数
如果知道X.Y的概率密度,知道U,V是X,Y的线性组合,求U,V的密度函数怎么求解.具体例如：X,Y都服从参数是1的指数分布,且相互独立.U=X+Y,V=X-Y,求U和V的分布函数或密度函数?谢谢高手提供一题多解的思路.只要要思路和方法.当然有具体过程更好.
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密度函数法
f(u,v)=f(x(u,v),y(u,v))|Jacob|
f(x(u,v),y(u,v))就是把 f(x,y)里面的x,y代替成u,v
按这个例子,就是解出x=(u+v)/2,y=(u-v)/2 然后代入f(x,y),把f(x,y)变成f(u,v)
Jacobian=绝对值(det |dx/du dy/du| )=|(dx/du)(dy/dv)-(dxdv)(dydu)|
( |dx/dv dy/dv |)
x,y对于u,v的四个偏导就根据x=(u+v)/2,y=(u-v)/2求出来就好了
jacobian=|-1/4-1/4|=1/2
f(x,y)=e^(-x-y)
f(x(u,v),y(u,v))=e^(-u) 这个很明显,
f(u,v)=e^(-u)/2
还有分布函数法,实际上一样的道理
F(u(x,y),v(x,y))=∫(0~y)∫(0~x)f(x,y)dxdy 这里默认为指数分布所以下限为0,但不是所有的分布定义域都这样
dxdy换底换成dudv要乘以jacobian=1/2 刚才求过
所以
F(u,v)=∫(-无穷~v)∫(0~u)f(x(u,v),y(u,v))/2 dudv （v= x-y可以取到负无穷的,不过对接下来求密度函数没有影响)
然后求 F²(u,v)/dudv 正好就是u,v底积分里面的函数式
f(x(u,v),y(u,v))/2
=e^(-u)/2
值得一提的是,jacobian不一定是常量,有可能是各种恶心的变量
比如遇到u=x/y,v=x+y这些种情况
x=uv/(1+u)
y=v/(1+u)
jacobian=|(dx/du)(dy/dv)-(dx/dv)(dy/du)|
=|(v/(1+u)²)(-1/(1+u))-(u/(1+u)(-v/(1+u)²)|
=|(u-1)v/(1+u)³|
这时还得根据u,v的取值情况判断大于零还是小于0,导致jacobian的值不同,要根据u,v取值分段代入不同的jacobian